random books / Боднарь - Физика. Ч3. Квантовая оптика, Элементы квантовой механики и атомной физики, физики твердого тела

Р

Рис.1 Четырнадцать пространственных решеток Бр аве

9.2 Положение и ориентация плоскостей в кристаллах

При описании структуры конкретного кристалла необходимо: определить кристаллическую решетку, выбрать кристаллографические оси координат, найти базис и набор операций симметрии, с помощью которого осуществляется перенос кристаллической структуры параллельно самой себе.

Положение и ориентация плоскостей в кристаллах определяются заданием координат трех точек, лежащих в этой плоскости. В структурном анализе описание положения плоскостей задается индексами Миллера (hkl), которые определяются по схеме: 1) находятся точки, в которых данная плоскость пересекает основные координатные оси и записываются их координаты в индексах постоянной решетки;

32

2) обратные значения полученных чисел приводятся к наименьшему целому, кратному каждому из чисел. Результат заключается в круглые скобки.

Если плоскость пересекает данную ось в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость пересекает ось в области отрицательных значений координат, соответствующий индекс также будет отрицательным и знак «минус» помещается над соответствующим индексом (рис.2).

Рис.2 Индексы Миллера некоторых плоскостей кубического кристалла. Плоскость (020) параллельна плоскости (010).

Направление в кристалле задается тремя наименьшими целыми числами [stq], которые равны индексам ближайшего к началу координат узла, через который проходит задающая направление прямая (рис. 3).

К простейшим точечным дефектам относятся вакансии, межузельные атомы,

примесные атомы внедрения и примесные атомы замещения.

Вакансии представляют узлы решетки, в которых отсутствуют атомы. Межузельный атом – атом вещества решетки, находящийся в междоузлии. Примесные атомы внедрения – это чужеродные атомы, находящиеся в междоузлиях решетки (раствор внедрения). Примесные атомы замещения находятся в узлах решетки, занимая места атомов основного металла (раствор замещения).

Вакансии и атомы замещения могут находиться в любых узлах решетки. Межузельные атомы и примесные атомы располагаются в таких местах (пустотах), где для них имеется больше свободного пространства.

Внутри совершенного кристалла вакансии и межузельные атомы могут одновременно образоваться по механизму Френкеля – при выходе атома в междоузлие из его нормального положения. Так образуются дефекты при облучении металла ядерными частицами. Образование тепловых вакансий и междоузлий крайне редко, так как требуемый избыток энергии весьма велик.

Тепловые вакансии легко образуются по механизму Шоттки (рис.4). Атом поверхностного слоя испаряется из металла или переходит в адсорбционный слой. Через некоторое время на его место переходит соседний атом из более глубокого слоя. Так

образуется вакансия, переходящая вглубь кристалла. Таким образом, источником тепловых вакансий являются свободные поверхности кристалла, а также пустоты и трещины внутри него. Таким образом, в плотных упаковках энергия образования

33

вакансий в несколько раз меньше энергии образования междоузлий, что обуславливает большую разницу концентрации вакансий и межузельных атомов. Концентрация вакансий сильно зависит от температуры.

При взаимодействии между собой точечные дефекты одного или разных видов могут объединяться в пары и более крупные комплексы.

9.4 Классификация веществ по виду химической связи

Существование стабильных связей между атомами в кристалле предполагает, что полная энергия кристалла – кинетическая и потенциальная меньше полной энергии такого же количества свободных атомов, удаленных на бесконечное расстояние. Разность этих двух энергий называется энергией химической связи или просто энергией связи.

Притяжение между атомами в кристалле почти полностью обеспечивается силами электростатического притяжения между электронами и положительно заряженными ядрами. По мере уменьшения расстояния между атомами их электронные облака начинают перекрываться и на достаточно близких расстояниях энергия взаимодействия, в результате перекрытия электронных облаков, является энергией отталкивания. В силу принципа запрета Паули два электрона не могут иметь равные квантовые числа, поэтому процесс перекрытия сопровождается частичным переходом электронов в квантовые состояния с более высокой энергией. Процесс перекрытия электронных облаков увеличивает полную энергию системы и приводит к появлению сил отталкивания.

По виду химической связи все вещества можно разделить на четыре класса:

1)Молекулярные кристаллы, связанные силами Ван-дер-Ваальса.

2)Металлы, в которых преобладает металлическая связь.

3)Ионные кристаллы, где преобладает электростатическая связь между ионами.

4)Атомные или ковалентные кристаллы c преобладанием ковалентной связи.

9.4.1 Молекулярные кристаллы. Силы Ван-дер-Вааальса

Между любыми атомами и молекулами возникает связь, обусловленная силами Ван-дер-Ваальса. В наиболее чистом виде она проявляется между молекулами с насыщенными химическими связями (O2, N2, H2 сухой лед и т.д.), а также между атомами инертных газов. В результате движения электронов в атоме мгновенное положение центра электронного облака может не совпадать в точности с ядром атома, - в эти моменты у атома появляется отличный от нуля дипольный момент. Мгновенный дипольный момент создает в центре соседнего атома электрическое поле. Это поле в свою очередь наводит мгновенный дипольный момент у соседнего атома. Так как дипольные моменты параллельны, то они притягиваются.

Силы Ван-дер-Ваальса быстро увеличиваются с уменьшением расстояния. Эта связь является наиболее слабой с энергией порядка единиц килоджоулей на моль. Кристаллы, где преобладает данный вид связи, мало устойчивы, летучи, имеют низкие точки плавления.

9.4.2 Ионные кристаллы

В наиболее чистом виде ионные кристаллы образуются элементами 1 и 7 группы периодической системы Менделеева (NaCl).

На больших расстояниях взаимодействие между ионами с противоположными зарядами представляет собой кулоновское притяжение ионов противоположного знака и кулоновское отталкивание ионов одного знака. Ионы образуют кристаллическую структуру в результате очень сильного кулоновского притяжения

34

между ионами противоположного знака, превосходящего кулоновское отталкивание между ионами противоположного знака. Притяжение, обусловленное силами Ван- дер-Ваальса, дает относительно малый вклад в энергию связи.

Ионные кристаллы отличаются высокой энергией связи, достигающей сотен и тысяч килоджоулей на моль, большой прочностью, как правило, прозрачны для видимого излучения.

9.4.3 Ковалентная связь

Ковалентная связь осуществляется посредством классической электронной пары и характеризуется явно выраженным свойством направленности. В кристаллах углерода, кремния и германия имеющих структуру алмаза каждый атом помещается в центре тетраэдера, образованного четырьмя ближайшими соседями (рис. 5), хотя

положительно заряженный ион, а электроны являются свободными в пределах кристалла и занимают промежутки между положительно заряженными ионами. В

35

ближайшие к ним в периодической системе металлы имеют крупные d-оболочки и характеризуются большими энергиями связи. Этот обусловлено наличием Ван-дер- Ваальсовского взаимодействием и ковалентной связью.

Металлы обычно кристаллизуются в наиболее плотно упакованных кубических или гексагональных решетках, характеризуются большим удельным весом, ковки, пластичны, практически несжимаемы из-за большого давления электронного газа. Наличием свободных электронов объясняется также непрозрачность и высокая отражательная способность металлов. Электрический ток в металлах переносится свободными электронами, хотя в некоторых металлах (Al,In,Ga) – дырками.

Решение задач

Пример 15. Определить индексы Миллера для плоскости, представленной на рисунке.

Лекции 10. Зонная теория кристаллов

10.1 Электронная структура кристаллов металлов

Рассмотрим изменение энергетического спектра типичного металла (натрия) при образовании монокристалла из дискретных атомов. Энергетическая диаграмма изолированного атома натрия представлена на рис.1.

Рис. 1. Энергетическая диаграмма изолированного атома натрия

36

При сближении атомов на расстояния порядка постоянной решетки имеет место изменения энергетического спектра, в основном валентных электронов, и энергетическая диаграмма кристалла натрия представлена на рис. 2.

В соответствии с принципом Паули в образовавшейся системе электроны не могут находится на одном энергетическом уровне, поэтому каждый энергетический уровень изолированного атома Е1, Е2,... расщепится на N простых подуровней или энергетическую зону (рис.2). Энергетические зоны, вообще говоря, разделены конечными интервалами энергии E. Эти интервалы называются запрещенными зонами (рис. 2), т.к. энергия электрона не может принимать значения энергии, лежащие в пределах таких интервалов.

Зона, образованная валентными электронами, называется валентной зоной, следующая за ней зона – зоной проводимости. В металлах валентная зона заполнена электронами лишь частично, поэтому при наложении внешнего электрического поля электроны валентной зоны могут переходить на вакантные, близко расположенные энергетические уровни. Электрический ток есть движение электронов, при котором они непрерывно переходят из одного энергетического состояния в другое. Таким образом, электроны валентной зоны в металлах являются свободными носителями заряда.

Остальные уровни также образуют зоны, но в отличие от валентной зоны эти энергетические зоны целиком заполнены электронам и не могут участвовать в создании тока.

Рис. 2. Энергетическая диаграмма кристалла натрия

10.2Электронная структура полупроводников и диэлектриков

Вкристаллах полупроводников и диэлектриков (рис.3 а,в), в отличие от металлов (рис.3 б), все энергетические уровни валентной зоны заполнены электронами. Это имеет место вследствие того, что валентная зона формируется из полностью заполненных валентных оболочек. У полупроводников заполнение валентной электронной оболочки происходит благодаря наличию ковалентной связи между атомами решетки. Диэлектрики (NaCl) состоят из ионов с целиком заполненными электронными оболочками. Отличие между полупроводниками и

37

диэлектриками заключается лишь в ширине запрещенной зоны Е. Для диэлектриков Е>3 эВ, для полупроводников Е<3 эВ.

Зона проводимости

И диэлектрики и полупроводники не проводят ток при Т=0 К.Однако при Т>0 K электрон в валентной зоне полупроводника может получить от иона кристаллической решѐтки энергию порядка kT и перейти в зону проводимости. Такой переход может быть осуществлѐн и другим способом, например, освещением кристалла фотонами с энергией hv> Е. В результате этого кристалл приобретает способность проводить электрический ток. В диэлектриках, вследствие большей ширины запрещенной зоны такой переход маловероятен.

В полупроводниках проводимость создаѐтся электронами, перешедшими в зону проводимости. Электрон, ушедший из валентной зоны, оставляет в ней незаполненное состояние, называемое дыркой. Другой электрон в валентной зоне получает возможность перейти в это незаполненное состояние. При этом в валентной зоне создаѐтся новая дырка, в которую может перейти третий электрон и т. д. Вместе с движением электрона происходит движение и соответствующей дырки, но в обратном направлении. Явление происходит так, как если бы ток вызывался не движением отрицательно заряженных электронов, а противоположно направленным движением положительно заряженных дырок. Эти электроны и дырки являются носителями тока в полупроводнике.

10.3 Собственная и примесные полупроводники. p-n-переход.

38

Электропроводность химически чистого полупроводника (например, чистого Ge или чистого Si) называется собственной проводимостью. Вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости пропорциональна exp[- E/(2kT)]. Проводимость пропорциональна числу носителей свободных носителей заряда,

(дырка), поэтому в собственных полупроводниках концентрации электронов и дырок одинаковы.

Логарифмируя (10.1), находим, что ln =ln 0- E/(2kT). На рис. 4. приведена зависимость ln от 1/T. По углу наклона этой прямой можно определить ширину запрещенной зоны E 2ktg .

Концентрация электронов и дырок в полупроводнике не только резко зависит от температуры, но также и от концентрации легирующей примеси. Наиболее сильное влияние на концентрацию носителей зарядов оказывают элементы 3 и 5 групп, которые входят в кристаллическую решетку по правилу замещения, т.е. замещают атом кремния в узле кристаллической решетки. Элементы пятой группы называются донорами, а элементы третий группы – акцепторами. Донорами в кремнии являются фосфор, мышьяк, сурьма.

При введение элемента пятой группы, например мышьяка, четыре электрона идут на образование валентных связей. Пятый электрон свободен от образования валентных связей и располагается на значительном расстоянии от атома. Наличие донорных примесей приводит к образованию в запрещенной зоне донорных уровней, расположенных вблизи дна зоны проводимости (рис. 5). Энергии ионизации электронов этих уровней ∆Епр намного меньше ширины запрещенной зоны ∆Е, поэтому при комнатной температуре все электроны донорных уровней переходят в зону проводимости и создают в полупроводнике электронную проводимость или проводимость n-типа. В отличии от собственного полупроводника такой переход не сопровождается образованием дырок, поэтому число свободных электронной в таком полупроводнике превышает число дырок. Такой полупроводник - полупроводник n-типа. Основными носителями заряда в полупроводнике n-типа являются электроны, неосновнымидырки.

39

Зона проводимости

Зона проводимости

При внедрении элементов третьей группы, например бора, в запрещенной зоне образуются акцепторные уровни, расположенных вблизи потолка валентной зоны (рис. 5). При комнатной температуре эти уровни заполняются электронами, перешедшими из валентной зоны, что приводит к образованию в валентной зоне вакансий (дырок) Атомы примеси, вызывающие возникновение дырок, называются акцепторными, а сама примесь - акцепторной. Акцепторная примесь создаст в полупроводнике дырочную проводимость или проводимость р-типа (от слова positive - положительный). Полупроводник с такой проводимостью называется полупроводником р-типа. Основными носителями заряда в полупроводнике р-типа являются дырки.

Во многих областях современной электроники большую роль играет контакт двух полупроводников с n- и p- типами проводимости. Такой контакт называется p- n-переходом. Он обладает односторонней проводимостью. Существует теория контактных явлений. Ограничимся качественными объяснениями.

При контакте разных полупроводников происходит диффузия носителей тока - электронов или дырок - из области, где их больше, в область, где их меньше. В связи с этим возникает поляризация образца в области контакта и, соответственно, возникает контактное электрическое поле с напряжѐнностью Ек , направленное от электронного к дырочному полупроводнику (рис. 6). Вследствие этого переходная область будет сильно обеднена: правая граница - электронами проводимости, а левая - дырками. Поэтому электрическое сопротивление переходного слоя возрастает.

усиливаться, что приведет к дальнейшему обеднению переходного слоя носителями

будут беспрепятственно проникать в переходный слой и сопротивление его практически исчезнет. Ток через контакт будет проходить (см. рис. 7, правый участок зависимости I от U ). Зависимость силы тока I от напряжения U называется вольтамперной характеристикой. Неодинаковость сопротивления р-n перехода в прямом и обратном направлениях позволяет использовать р-n переходы для выпрямления переменного тока в выпрямителях, детекторах и т.д. Полупроводниковое устройство, содержащее р-n переход называется полупроводниковым или кристаллическим диодом. Полупроводниковые триоды (транзисторы) используют р-n-р или n-р-n переходы.

Решение задач

Пример 16. Сопротивление кремниевого образца при температуре 17°С (Т1=290 К) составляет R1= 50 кОм. При какой температуре Т2 сопротивление этого образца будет равно R2=40 кОм? Ширина запрещенной зоны кремния ∆Е =1,1 эВ.

Решение: Cопротивление обратно пропорционально удельной электропроводности. Для собственного полупроводника из (10.1) R R0e E2kT .