random books / Боднарь - Физика. Ч3. Квантовая оптика, Элементы квантовой механики и атомной физики, физики твердого тела

21

Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии Еn, действует внешнее излучение с частотой , удовлетворяющей условию h =Еn-Еm, то возникает вынужденный (индуцированный) переход в состояние m с излучением фотона той же энергии (рис. 2, в). Возникшее при этом излучение называют вынужденным (индуцированным) излучение. В процесс вынужденного излучения вовлечены 2 фотона: первый фотон, вызывающий испускание излучения, и вторичный фотон, испускаемый атомом. При этом вторичные фотоны неотличимы от первичных, являясь их копией.

Следовательно, вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественны вынуждающему излучению (первичным фотонам): оно имеет такие же частоту, фазу, поляризацию, направление распространения, т.е. строго когерентно с вынуждающим излучением.

Чтобы вынужденное излучение превосходило спонтанное излучение и вынужденное поглощение необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии. Такие состояния называются состояниями с инверсией населенности или инверсными.

Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды. Накачку можно осуществить оптическими, электрическими и другими способами.

В средах с инверсными состояниями вынужденное излучение может превысить поглощение, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через эти среды будет усиливаться (такие среды называются активными).

Практическое инверсное состояние среды было осуществлено в 1960 г. в принципиально новых источниках излучения - оптических квантовых генераторах или лазерах. В 1964 г. за фундаментальные работы по квантовой электронике советским ученым Басову Н.Г., Прохорову А.М. и американскому ученому Ч. Таунсу были присуждена Нобелевская премия.

Пример активной среды с инверсией населенностей - трехуровневый лазер, идея которого была предложена Басовым и Прохоровым в 1955 г. За счет энергии накачки (например, благодаря вспышкам импульсной ксеноновой лампы) атомы среды переходят из состояния 1 в состояние 3, показанное стрелкой Е13 (рис. 3). Время жизни уровня 3 очень мало (~10-8c). В течение этого времени некоторые

электроны перейдут спонтанно с уровня 3 на уровень 1. Однако большинство атомов перейдет на метастабильный (относительно устойчивый) уровень 2. При достаточной мощности накачки число атомов, находящихся на уровне 2, становится больше числа атомов на уровне 1, т.е. возникает инверсия населенностей.

Излученный при спонтанном переходе 2-1 фотон вызывает вынужденное испускание дополнительных фотонов, соответствующих переходу Е21, которые в свою очередь вызовут также вынужденное излучение и т.д.

Полученное таким образом вынужденное излучение было использовано для генерации когерентных световых волн. Чтобы активное вещество превратить в генератор световых колебаний, необходимо, чтобы часть излученного света все

22

время находилась в зоне активного вещества и вызывала вынужденное излучение все новых и новых атомов. Для этого активное вещество, например, цилиндрический кристалл рубина, легированного атомами хрома, помещают между двумя параллельными зеркалами, плоскости которых перпендикулярны к оси цилиндра. Тогда луч, отражаясь от зеркал, будет проходить много раз через активное вещество, усиливаясь при этом в результате вынужденных переходов атомов с высшего энергетического уровня Е2 на более низкий Е1. Такой резонатор не только усиливает свет, но также коллимирует (делает лучи параллельными) и монохроматизирует его. Коллимация происходит за счет того, что лучи, идущие параллельно оси цилиндра, будут проходить через активное вещество туда и обратно неограниченное число раз и максимально усилятся. Лучи, идущие наклонно, в конце концов, попадут на боковую стенку цилиндра, где они рассеются или выйдут наружу. Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

1. Время когерентности составляет 10-3с, что соответствует длине когерентности l ког = С ког 105 м, т.е. в 107 раз выше, чем для обычных источников света.

2.Строгая монохроматичность : < 10-11 м.

3.Большая плотность потока энергии 1010 Вт/м2.

4.Очень малое угловое расхождение в пучке.

Лазеры имеют многочисленные применения в технике для сварки, резки и плавления металлов, науке и медицин, используются в волоконно-оптических линиях связи для передачи и обработки большого объема информации. Наконец, применяя лазеры для нагрева плазмы, пытаются решить проблему управляемого термоядерного синтеза.

Решение задач

Пример 11. Электрон в атоме находится в d-состоянии. Определить:

1) момент импульса электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

Решение:d-состояние электрона характеризуется орбитальным квантовым числом

слоев и оболочек происходит в соответствии с принципом Паули и правилами расчета главных квантовых чисел l, m, ms .

Произведем расчет емкости оболочек и слоев. Число различных состояний в оболочке определяется числом различных проекций орбитального момента l или

23

магнитным квантовым числом m. Число таких состояний равно 2l+1 . Кроме того, необходимо учесть, что в состоянии с заданным n, l, m может существовать два электрона с противоположными по знаку проекциями спинов (ms = 1/2 ). Таким образом, оболочка l в любом слое может вмещать 2(2l+1) электронов.

Емкость слоя определяется числом различных оболочек, его образующих, и емкостью самих оболочек. Поскольку в n-слое имеется n оболочек (0≤ l ≤n-1), полная емкость слоя

Для первого слоя (К-слоя) n=1. Так как 0≤ l ≤n-1 для данного n возможно только одно значение орбитального квантового числа l=0 (s-состояние) и одно значение магнитного квантового числа m=0 (m=0, 1,… l). В состоянии с n=1, l=0

иm=0 может находиться два электрона с противоположными спинами (ms = 1/2 ). Таким образом, К-слой включает в себя два электрона. Существует традиционная схема записи электронных конфигураций атомов. В ней указываются слои (своим номером) и оболочки (символом). Для оболочек для оболочек приводится число

находящихся в них электронов в виде показателя степени. Заполненный К-слой обозначается как 1s2.

Далее происходит заполнение слоя с n=2 (L-слоя). Для n=2 l=0 (s-состояние)

иl=1 (р-состояние). Выше показано, что в s-состоянии может находится два электрона. Для l=1 m=-1, 0, +1. C учетом проекций спина, число возможных

электронных состояний для l=1 равно 6 . Таким образом, полная емкость второго слоя – 2+6=8 электронов. Заполненный L-слой обозначается как 2s22р6.

(обозначение 3s1).

Исходя из вышесказанного, электронная конфигурация атома натрия

11Na 1s22s22р63s1

III. Элементы физики твердого тела

Лекция 7. Свободный электронный газ в металлах

Основываясь на модели свободных электронов можно объяснить целый ряд физически важных свойств металлов, и особенно простых металлов. Согласно этой модели наиболее слабо связанные (валентные) электроны составляющих металл атомов могут свободно перемещаться в объеме кристаллической решетки. Эти валентные электроны становятся носителями электрического тока в металле, поэтому их называют электронами проводимости. В приближении свободных электронов можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия между валентными электронами и ионными остовами и полную энергию электронов считать равной их кинетической энергии.

К простым металлам относятся щелочные металлы, Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Al, Zn, In, Pb, Hg, Ga. К числу простых не относят: благородные металлы (Cu, Ag, Au), переходные металлы, лантаноиды и актиноиды.

7.1 Энергетические уровни и энергия Ферми в одномерном случае

Газ свободных невзаимодействующих электронов, подчиняющихся принципу запрета Паули, будем называть свободным электронным газом Ферми.

26

При низких температурах, уровень Ферми слабо зависит от температуры. Поэтому во многих случаях можно полагать ЕF = ЕF(0).

Решение задач

Пример 13 Определить энергию Ферми при абсолютном нуле для Al.

Решение: Величина энергии Ферми металлов (7.5) зависит от концентрации электронов N/V . Концентрация электронов равна произведению валентности металла (для алюминия равна 3) на концентрацию атомов вещества NAl /V. Для алюминия

где ρ – плотность алюминия (2.7∙103 кг/м3 ), MAl – молярная масса алюминия (0.027 кг/моль), NA –число Авогадро (6.02∙1023 моль-1).Подставляя эти данные в (1) получим концентрацию электронов в алюминии

Энергия Ферми (7.5) с учетом (2)

Лекция 8. Тепловые свойства кристаллов

8.1.Классическая теория теплоемкости диэлектриков. Закон Дюлонга и Пти

Говоря о теплоемкости, будем иметь в виду теплоемкость при постоянном

где U – внутренняя энергия кристаллической структуры. Атом в кристаллической решетке имеет i=6 степеней свободы: три степени свободы поступательного и три степени свободы колебательного движения. На каждую степень свободы приходится средняя энергия равная kT/2, где k –постоянная Больцмана. Таким образом, для одного моля химически простых (одноатомных) твердых тел

где R=kNA=8.31 Дж/мольК - универсальная газовая постоянная. Отсюда молярная теплоемкость твердого тела

что С зависит от температуры и вблизи нуля кельвин для всех диэлектриков С T 3 ,

а для металлов вблизи абсолютного нуля С Т. На рис. 1 представлена характерная экспериментально полученная зависимость С от Т. Сплошная кривая – экспериментальные данные, пунктирная кривая выражает закон Дюлонга и Пти.

27

Расхождение опытных и теоретических значений теплоѐмкостей объяснили, исходя из квантовой теории теплоѐмкости, Эйнштейн и Дебай.

3R

Рис.1

Рис.1 Зависимость молярной теплоемкости твердых тел от температуры

8.2 Квантовая теория теплоѐмкости Эйнштейна

Эйнштейн рассматривал кристалл как систему из N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором (см.параграф 4.4.3) Колебания всех атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой. Средняя энергия Е , приходящая на одну степень свободы атома - гармонического квантового осциллятора:

Этот результат качественно описывает зависимость С от Т в области высоких температур (kT>>hv), однако в области низких температур возникают расхождения с экспериментально полученными зависимостями С от Т.

8.3 Понятие о квантовой теории теплоѐмкости Дебая. Фононы

Тепловое возбуждение твѐрдого тела Дебай описал в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Упругие волны в кристалле обладают квантовыми свойствами, проявляющимися в том, что существует наименьшая порция - квант энергии волны. Порция (квант) энергии нормального колебания решетки называется фононом. Многие процессы в кристалле протекают так, как если бы фонон обладал импульсом

где k - волновой вектор соответствующего нормального колебания. Энергия кванта

ε=ħω. (8.9)

В отличии от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов и др.) фотон не может возникнуть в вакууме - для своего возникновения и существования он

29

пропорциональна кубу температуры. Эта зависимость известна как закон Т3 Дебая.

2) высокие температуры T . Тогда x 1 , и экспоненту под kT

знаком интеграла можно разложить в ряд: e x 1 x . Для внутренней энергии (8.14) получаем:

где U 0 9n m - энергия нулевых колебаний кристалла.

8

Из выражения (8.19) следует закон Дюлонга и Пти.

Формула Дебая хорошо передает ход теплоемкости с температурой лишь для химически простых тел. У тел с более сложной структурой спектр колебаний состоит из двух ветвей (оптической и акустической).

8.4 Теплоемкость электронного газа в металлах

При нагреве металла не каждый свободный электрон приобретает энергию пропорциональную kТ, как следовало бы согласно классической теории газов. Испытывают тепловое возбуждение и приобретают энергию лишь электроны, находящиеся в состояниях с энергиями в интервале kТ вблизи уровня Ферми.

Если полное число электронов в системе N, то тепловое возбуждение при повышении температуры от 0 до Т может испытывать лишь их часть порядка отношения kT /EF , потому что приблизительно именно такая их доля обладает энергиями в энергетическим интервале kТ в верхней части энергетического распределения. Каждый из NkT /TF обладает избыточной тепловой энергией порядка kТ, а полная энергия теплового возбуждения ∆Е теплового возбуждения электронов составляет величину порядка

температуре. При комнатной температуре эта величина намного меньше (1/100) от классической теплоемкости одноатомного идеального газа 3kТ/2. Поэтому при комнатной температуре теплоемкостью электронного газа можно пренебречь.

Теплоемкость металлов при температурах ниже температуры Дебая может быть записана в виде двух членов, один из которых описывает вклад электронов

30

проводимости, второй – вклад решетки. Электронная часть теплоемкости линейно зависит от температуры и поэтому доминирует при низких температурах.

Решение задач

Пример 14. Воспользовавшись законом Дюлонга и Пти определить удельную теплоемкость алюминия. MAl – молярная масса алюминия (0.027 кг/моль) Решение:Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

Лекция 9. Кристаллическая решетка . Классификация веществ

по виду химической связи

Твердые тела, в которых атомы или молекулы образуют упорядоченную, периодически повторяющуюся структуру, называются кристаллами. Для монокристаллов характерно наличие анизотропии – зависимости физических свойств от выбранного направления. У поликристаллов, состоящих из сросшихся, хаотически ориентированных мелких кристаллов, анизотропия не наблюдается.

9.1Кристаллическая решетка

Идеальный кристалл можно построить путем бесконечного закономерного повторения в пространстве одинаковых структурных единиц. Периодически повторяющаяся в пространстве элементарная часть кристалла называется элементарной ячейкой. Элементарная ячейка имеет форму параллепипеда. Существует четырнадцать типов трехмерных элементарных ячеек (решеток Браве) (рис. 1), разделяемых в зависимости от соотношения осей а, b, c и углов , и на семь сингоний: