random books / Боярский К.К., Смирнов А.В., Стафеев С.К. - Атомная физика часть 1. Основы квантовой механики

Действительно,

pˆ x ψ = −ih ∂∂x exp hi ( Et − px x) = (−ih)hi px exp hi ( Et − px x) = px ψ.

Аналогично выглядят и операторы других проекций импульса. Образовав из этих проекций вектор, получаем, что

где —набла – оператор Гамильтона.

Оператор pˆ x обладает непрерывным спектром, иными словами, на

величину проекции импульса не накладывается каких-либо ограничений, она может быть любой.

Рассмотрим коммутационные соотношения (4.9) между операторами импульса и координаты.

xpˆˆ x ψ = x(−ih) ∂ψ ∂x ,

pˆ x xˆ ψ = (−ih) ∂( xψ) ∂x = x(−ih) ∂ψ ∂x − ihψ.

Ввиду произвольности функции ψ, получаем операторное равенство

(справа в этом уравнении стоит оператор умножения на константу ih). Аналогичные соотношения справедливы и для других проекций.

Поскольку коммутатор отличен от нуля, соотношение (4.12) означает, что одноименные проекции координаты и импульса не могут быть одновременно точно измерены — для них выполняется соотношение неопределенностей. Заметим, что коммутаторы типа [xˆ , yˆ] , [ pˆ x , pˆ y ], [xˆ, pˆ y ] и т. д. равны нулю, то есть соответствующие пары величин могут одновременно иметь определенные значения.

Энергия

Взяв классическое выражение для кинетической энергии T = mv22 = p2 2m , квантовомеханическую формулу получим, заменив значения величин соответствующими операторами. С учетом (4.10), (4.11)

где — оператор Лапласа.

Потенциальная энергия зависит только от координат частиц, поэтому ее оператор — умножение на значение самой потенциальной энергии:

43

ромире невозможно одновременное точное измерение потенциальной и кинетической энергии. Физический смысл имеет полная энергия H = T + U, соответствующий оператор

называется оператором Гамильтона или гамильтонианом системы (не пу-

тать с набла – оператором Гамильтона !).

В зависимости от конкретной ситуации гамильтониан системы может иметь непрерывный или дискретный спектр. Примеры расчетов будут рассмотрены в следующих разделах.

Момент импульса. Пространственное квантование

В классической механике момент импульса (или угловой момент) частицы относительно начала координат определяется векторным произведением l = r × p . В квантовой механике это соответствует оператору

Раскрывая векторное произведение и соблюдая порядок сомножителей, найдем операторы проекций момента импульса:

Рассмотрим коммутационные соотношения для двух проекций момента:

Второе и третье слагаемые в обоих выражениях совпадают друг с другом, так как все входящие в них операторы попарно коммутируют. Поэтому для

коммутатора ˆx ˆy , с учетом того, что некоммутируют только одноимен-

[l ,l ]

ные координаты и проекции импульса, находим:

44

Таким образом, любые две проекции оператора момента не комму-

тируют между собой, поэтому не существует состояния, в котором эти проекции одновременно имели бы определенные значения (за исключени-

ем случая lx = ly = lz = 0). Точно измерена может быть только одна проек-

ция. Обычно принимается, что эта выделенная проекция есть lz.

одна из его проекций могут одновременно иметь определенные значения.

Для нахождения собственных функций и собственных значений указанных операторов следует перейти от декартовых координат (x, y, z) к

хорошо известно в математической физике. Собственными функциями его являются так называемые сферические функции Ylm (θ,ϕ) , зависящие от

двух целочисленных индексов1 l и m, а собственные значения равны

Следовательно, модуль вектора момента принимает дискретный спектр значений

Целое число l в квантовой механике называется орбитальным кван-

товым числом.

Найдем собственные функции и собственные числа оператора проекции момента lˆz . Из (4.20) получаем характеристическое уравнение

−ih ∂∂ϕψ = lzψ.

азимутального угла ϕ на 2π возвращает точку в исходное положение, волновая функция должна быть периодичной с периодом 2π: ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π) . Это возможно только при выполнении условия

Равенство (4.23) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Как будет показано ниже, квантовое число m для заряженных частиц определяет также и величину магнитного момента час-

тицы, поэтому оно называется орбитальным магнитным квантовым числом.

Из того, что проекция вектора не может быть больше его длины, следует, что должно выполняться неравенство

Квантовые числа l и m совпадают с индексами сферических функций

Ylm.

Полученные соотношения могут быть проиллюстрированы векторной моделью, в которой квантовый угловой момент представляется вектором, как бы прецессирующим (вращающимся) вокруг оси z (рис. 4.1).

46

Рис. 4.1. Возможные ориентации вектора углового момента при l = 2

Из соотношения (4.23) вытекает, что момент может быть ориентирован в пространстве только под определенными углами к оси z, так как его проекция на эту ось кратна постоянной Планка. При этом из-за прецессии проекции вектора l на оси x и y остаются неопределенными. Из формул (4.22), (4.24) видно, что вектор момента никогда не может быть направлен точно вдоль оси z. Действительно, если бы такая ситуация реализовалась, проекции lx и ly одновременно точно равнялись бы нулю, что противоречило бы первому из равенств (4.18), а значит и соотношению неопределенности.

4.3. Уравнение Шредингера

Одной из основных задач квантовой механики является нахождение пространственно-временных волновых функций ψ(x, y, z, t) и связанных с ними результатов физических наблюдений в различных условиях. Для ее решения в нерелятивистском случае (без учета спина, см. Часть 2 данного пособия) служит уравнение, найденное Шредингером в 1926 г. и носящее его имя:

ˆ

где H — гамильтониан системы (см. формулу (4.15)).

Вид этого уравнения был установлен, исходя из принципа соответствия между квантовой и классической механикой. Уравнение Шредингера (4.25) является одним из основных уравнений квантовой механики, справедливым для самого общего вида движения частицы в стационарных и в нестационарных полях. Все конкретные условия движения учитываются в

гамильтониане ˆ

H .

Гамильтониан вообще занимает особое место среди квантовомехани-

47

ческих операторов. Можно доказать, что если оператор физической вели-

ˆ

чины A не зависит явно от времени, то справедливо операторное равенство

ˆ

Отсюда следует, что если оператор A коммутирует с гамильтонианом, то среднее значение A сохраняется.

ˆ

Например, возьмем в качестве A один из операторов проекций импульса pˆ x , pˆ y , pˆ z и предположим, что внешние силы отсутствуют (в этом

случае потенциальная энергия равна константе, которую можно положить равной нулю). Тогда оператор Гамильтона совпадает с оператором кинетической энергии (4.13) и, поскольку операторы проекций импульса комму-

ˆ ˆ

тируют друг с другом, все коммутаторы типа [H , px ] равны нулю. Следо-

вательно, для свободного движения в квантовой механике импульс является сохраняющейся величиной.

видно, коммутирует сам с собой. Следовательно, если частица движется в стационарном поле и потенциальная энергия не зависит от времени, то полная энергия сохраняется. Отличие этих законов сохранения от классических заключается в том, что сохранение понимается в квантовомеханическом смысле, то есть для средних значений сохраняющихся величин.

Важную роль в квантовой механике играют стационарные состояния — такие состояния, в которых плотность вероятности ψ 2 не зависит от

времени. Для стационарности состояния необходимо, чтобы потенциальная функция U тоже была стационарной, то есть не зависела от времени. В этом случае общее решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от координат, а другая — от времени:

Левая часть уравнения (4.28) не зависит от времени, правая — от координат, следовательно, и правая и левая части есть константа, которую обо-

значают E. Отсюда получаем стационарное уравнение Шредингера для пространственной части волновой функции

48

Это — характеристическое уравнение для гамильтониана. Следовательно, константа E является собственным значением оператора энергии, а ψ-функция стационарного состояния совпадает с собственной функцией оператора энергии.

49

Глава 5. Простейшие задачи квантовой механики

5.1. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси x, и ее движение ограничено непроницаемыми стенками x = –d/2 и x = d/2. Такое движение можно представить как движение в потенциальном поле с энергией

Состояние частицы описывается волновой функцией, зависящей от одной координаты ψ(x). Из (4.29), (4.15) следует, что стационарное уравнение Шредингера в области ямы (–d/2 ≤ x ≤ d/2, U = 0) будет иметь вид

для пространственных осцилляций волновой функции.

Вне ямы волновая функция тождественно равна нулю, так как попасть в область с бесконечно большим потенциалом частица не может.

Волновая функция должна быть непрерывна на всей оси, поэтому она обязана обращаться в нуль на краях ямы. Это означает, что частота α должна удовлетворять соотношению

причем при нечетных n C1 = 0, а при четных — C2 = 0. Поскольку волновое число и длина волны связаны соотношением α = 2πλ, условие (5.4) озна-

чает, что на длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн (см. рис. 5.1).

Отсюда находим собственные значения энергии частицы

Спектр энергии оказался дискретным, то есть энергия частицы квантуется. На рис. 5.1 на уровни En наложены графики волновых функций (а) и соответствующих им распределений вероятности обнаружения частицы в различных точках (б).

50