random books / Гриднев А. Е., Меремьянин А. В., Рисин В. Е. - Курс общей физики. Решение задач по оптике (дифракция света)

Задача 5. Между точечным источником c длиной волны и экраном расположена большая стеклянная пластина, в которой сделаны концентриче-

ские кольцевые выемки глубиной h. Эти выемки для точки наблюдения P

экрана совпадают с границами нечѐтных зон Френеля. При какой глубине

выемок интенсивность света в точке P будет максимальна?

При отсутствии стеклянной пластины колебания, создаваемые в точке

P нечѐтными зонами Френеля, находятся в противофазе с колебаниями, со-

здаваемыми чѐтными зонами. Эту разность фаз можно скомпенсировать за счѐт различия скоростей распространения света в стекле и в воздухе. Изме-

нение разности фаз, которое может обеспечить наша стеклянная пластина,

показатель преломления стекла,

Мы рассмотрели действие так называемой зонной пластинки, которая обеспечивает высокую концентрацию световой энергии в точке P. Усиление интенсивности света такой зонной пластинкой аналогично фокусирующему

действию линзы (однако слабее в раз и выполняется только для соот-

ветствующих (4) длин волн). В точке P фактически наблюдается изображе-

ние источника.

Все соотношения для зонной пластинки определяются формулами (2),

0

Решите задачи №№ 14-18.

11

Строгий расчѐт дифракционной картины за преградой можно провести с помощью интеграла Кирхгофа по открытой части волновой поверхности

коэффициент Кирхгофа [3], учитывающий зависимость амплитуды вторич-

ной волны от угла между направлениями первичной и вторичной волн.

Как известно, различают два вида дифракции: дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера. Если лучи, падающие на преграду, и лучи,

интерферирующие за преградой образуют параллельные пучки – говорят о дифракции Фраунгофера. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля. Такое деление связано с особенностями постановки экспериментов

и особенностями расчѐта дифракционных картин.

Для получения оценок вида дифракции обратимся к формуле (2).

даже одной первой зоны Френеля. Этот случай соответствует дифракции

как и для полностью открытого волнового фронта. Этот случай соответствует геометрической оптике, дифракцию можно не учитывать.

При 0 будет наблюдаться дифракция Френеля.

Дифракция Фраунгофера на щели. Схема наблюдения дифракции и распределение интенсивности в дифракционной картине представлены на рис. 10. Плоский волновой фронт падает на преграду, в которой имеется уз-

12

кая щель шириной b. За преградой расположена линза L, а в фокальной

плоскости линзы – экран.

b

L

Рис. 10. Дифракция Фраунгофера на щели

Дифракционная картина на экране представляет собой наиболее яркую центральную светлую полосу с размытыми краями и расположенными сим-

метрично относительно неѐ чередующимися тѐмными и светлыми полосами.

Вычисляя интеграл Кирхгофа, получим формулу распределения ин-

тенсивности в дифракционной картине в зависимости от угла дифракции

13

Задача 6. Монохроматический свет падает нормально на щель ширины За щелью находится тонкая линза с фокусным расстоянием

, в фокальной плоскости которой расположен экран. Найти дли-

ну волны света, если расстояние между симметрично расположенными ми-

нимумами третьего порядка на экране равно Из условия дифракционных минимумов (6)

фронт падающего на щель излучения). Максимальная разность фаз колеба-

пределение фаз колебаний в точке будет таким же, как на перпендикуляре

к лучам. Если окажется равным то волны, приходящие в

точку , будут синфазны, и в этой точке будет наблюдаться центральный дифракционный максимум.

Таким образом, при наклонном падении света на щель условие цен-

трального дифракционного максимума следует записать в виде:

т. е.

Из тех же соображений условие дифракционных минимумов при наклонном падении пучка лучей на щель запишется в виде:

где

В нашей задаче, при распространении световой волны в стекле призмы

Условие дифракционных минимумов запишется в виде:

15

где

Разрешающая способность оптических приборов. Дифракция проис-

ходит из-за ограничения волнового фронта падающего на преграду излуче-

ния. Из-за дифракции оптический прибор будет давать не точечное изобра-

жение удалѐнного точечного объекта, а размытое пятно конечного размера.

При небольшом угловом расстоянии между удалѐнными точечными объ-

ектами их изображения сольются в одно пятно, и станет невозможной их идентификация (их разрешение).

В соответствии с критерием Рэлея минимальное угловое расстояние между удалѐнными точечными объектами, при котором их можно визуально

различить (разрешить) определяется выражением:

чивающей волновой фронт.

Задача 8. О зоркости хищных птиц ходят баснословные рассказы. Оце-

ните на основе дифракционных соображений, может ли орѐл, летающий над землѐй на высоте км, разглядеть мышонка в см, или он сможет только обнаружить его присутствие.

Прежде всего, разберѐмся в понятиях «разглядеть» и «обнаружить».

Будем полагать, что «разглядеть» - значит раздельно увидеть хотя бы край-

ние точки тела мышонка. В этом случае угловой размер мышонка

Положим, что диаметр зрачка глаза орла 3 мм. Возьмѐм длину волны

но сможет обнаружить его присутствие, если мышонок движется.

Решите задачи №№19-21.

16

Дифракция Фраунгофера на амплитудной решѐтке. Амплитудная ди-

фракционная решѐтка представляет собой систему одинаковых параллельных щелей шириной b, расположенных в одной плоскости на одинаковом рассто-

янии d друг от друга. Параллельный пучок лучей, падающих на решѐтку, по-

лагается пространственно когерентным в пределах всех N щелей решѐтки. За решѐткой располагается линза и в фокальной плоскости линзы экран, где и наблюдается дифракция Фраунгофера.

На каждой из N щелей решѐтки происходит дифракция, которая описы-

вается формулой (5). Волны, продифрагировавшие на каждой из щелей в том или ином направлении , сводятся линзой в ту или иную точку экрана, где происходит многолучевая интерференция (N когерентных лучей).

Суммарное распределение интенсивности в зависимости от угла ди-

фракции описывается выражением [3]:

Задача 9. Монохроматический свет с длиной волны падает

нормально на дифракционную решѐтку За решѐткой находится тонкая линза

с фокусным расстоянием , в фокальной плоскости которой распо-

ложен экран. Расстояние на экране между двумя максимумами первого по-

рядка равно Определить постоянную решѐтки d и общее число

главных дифракционных максимумов N, наблюдаемых на экране.

Из условия главных дифракционных максимумов (7) можем записать:

где √ (см. задачу 6).

Подставляя числовые данные задачи, получим

Наибольший порядок наблюдаемых на экране дифракционных макси-

главных дифракционных максимумов.

границу структуры. Ширины уступов

заданном показателе преломления n подобрать глубину уступа h таким обра-

зом, чтобы главные фраунгоферовы дифракционные максимумы первого по-

рядка имели наибольшую интенсивность. Под каким углом при этом наблю-

дается дифракционный максимум первого порядка? Какова при этом интен-

сивность максимума нулевого порядка?

18

Структура представляет собой, так называемую фазовую дифракцион-

ную решѐтку. Еѐ действие можно представить в виде суперпозиции действий двух амплитудных решѐток. У одной амплитудной решѐтки закрыты все вы-

ступы, а у другой – все впадины. Тогда период каждой такой амплитудной

ны быть синфазны, чтобы обеспечить максимальную интенсивность в направлении . Синфазность обеспечивается при выполнении условия для

Если , то разность хода волн от соседних «щелей»:

В этом случае волны будут находиться в противофазе и «погасят» друг друга.

Интенсивность дифракционного максимума нулевого порядка окажется рав-

ной нулю.

малью к решѐтке, под которым образуется фраунгоферов максимум наибольшего порядка.

При нормальном падении света на дифракционную решѐтку разность

даться интерференционный максимум. Именно это условие и обеспечивается формулой (7).

d

нии условия:

Таким образом, при наклонном падении света на решѐтку условие

Следует обратить внимание на правила знаков углов в формуле (9). Уг-

лы, отсчитываемые по часовой стрелке, будем считать положительными. То-

гда углы, отсчитываемые против часовой стрелки, будут отрицательными.

ние до целого числа (обязательно в сторону меньших значений). Получим Это значение следует подставить в формулу (9):

,

20