
- •Введение
- •1. Случайные события и вероятность
- •1.1. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики. Некоторые содержательные задачи
- •1.4. Аксиоматическое введение вероятности
- •1.5. Теоремы о вероятностях случайных событий
- •1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.7. Геометрические вероятности
- •1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд распределения. Функция распределения
- •2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности распределения случайной величины
- •2.3. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства
- •2.4. Пуассоновский поток событий
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин
- •3.2. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Преобразование случайных величин (случай двух переменных)
- •4.2. Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин
- •4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)
- •4.5. Распределение Стьюдента
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Неравенства Чебышева
- •5.2. Теорема Чебышева
- •5.3. Теорема Бернулли
- •5.4. Центральная предельная теорема
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Системы массового обслуживания
- •6.1. Случайные процессы
- •6.2. Марковские случайные процессы. Марковские цепи
- •6.3. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова
- •6.4. Процессы гибели и размножения
- •6.5. Потоки случайных событий
- •6.6. Приложения марковских процессов
- •6.7. Системы массового обслуживания
- •6.8. Системы массового обслуживания с отказами Одноканальная смо с отказами
- •6.9. Системы массового обслуживания с очередями
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Математическая статистика
- •7.1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма
- •7.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины
- •7.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Построение прямых линий регрессии по выборочным данным
- •1. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по несгруппированным данным
- •2. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •7.5. Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин
- •7.6. Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область
- •7.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •7.8. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий 2 Пирсона
- •7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки)
- •7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Варианты контрольной paбoты № 1 по теории вероятностей вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •9. Варианты контрольной работы № 2 по случайным процессам и математической статистике вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Приложение
- •Суммарные вероятности для распределения Пуассона
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Библиографический список
Вопросы для самопроверки
Что называется случайным событием? Приведите примеры случайных событий.
Дайте классическое определение вероятности.
Что называют относительной частотой случайного события?
Сформулируйте аксиому сложения вероятностей для двух несовместных событий; для n несовместных событий.
Сформулируйте общую теорему сложения вероятностей для двух случайных событий; для n случайных событий.
Сформулируйте общую теорему умножения вероятностей для двух случайных событий; для n случайных событий.
Какие события называются независимыми? Сформулировать теорему умножения вероятностей двух случайных событий.
Какие события называются независимыми в совокупности? Какая связь между попарно независимыми событиями и независимыми в совокупности?
Сформулируйте теорему умножения для n случайных событий, независимых в совокупности.
Напишите формулу полной вероятности.
Какой вид имеет формула Байеса?
Определите схему независимых испытаний Бернулли. Что выражает формула Бернулли?
Дайте определение наивероятнейшего числа наступлений успеха в n испытаниях и приведите правило его вычисления.
Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа, а также укажите условия ее применения.
Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа, укажите условия ее применения.
Приведите типы задач, к которым приводит интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Приведите формулу Пуассона. При каких условиях она применяется?
Задачи
1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба.
Ответ: 3/8.
2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения номера, большего 4?
Ответ: 1/3.
3. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наудачу два шара окажутся черными?
Ответ: 7/15.
4. В партии из 100 изделий 6 нестандартных. Из партии выбирается 10 изделий. Определить вероятность того, что среди изделий будут ровно 2 нестандартных.
Ответ: р = 0,13.
5. Три охотника договорились стрелять в цель в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,7. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три выстрела.
Ответ: а) 0,7; б) 0,21; в) 0,063.
6. Рабочий обслуживает 3 станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,95, для второго такая вероятность равна 0,9 и для третьего – 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) какой-нибудь один станок не потребует внимания рабочего; в) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?
Ответ: а) 0,684; 6)0,032; в) 0316.
7. Имеются две урны: в первой – 3 белых шара и 2 черных; во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Ответ: 0,52.
8. На фабрике, изготовляющей изделия, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. а) Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие дефектное? б) Случайно выбранное из продукции изделие оказалось дефектным. Какова вероятность того, что изделие было произведено второй машиной?
Ответ: а) 0,0345; б) 140/345.
9. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
Ответ: 3/16.
10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.
Ответ: р≈0,0916.
11. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.
Ответ:
р
0,051.
12. Всхожесть семени данного растения 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.
Ответ: р 0,9737.
13. Вероятность появления “успеха” в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.
Ответ: р 0,9876.
14. Сколько нужно провести опытов с бросанием “правильной” монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонения частоты выпадений “герба” от его вероятности по абсолютной величине, меньшего чем 0,01?
Ответ: n = 7656.