Вопросы для самопроверки

1. Что называется случайным событием? Приведите примеры случайных событий.

2. Дайте классическое определение вероятности.

3. Что называют относительной частотой случайного события?

4. Сформулируйте аксиому сложения вероятностей для двух несовместных событий; для n несовместных событий.

5. Сформулируйте общую теорему сложения вероятностей для двух случайных событий; для n случайных событий.

6. Сформулируйте общую теорему умножения вероятностей для двух случайных событий; для n случайных событий.

7. Какие события называются независимыми? Сформулировать теорему умножения вероятностей двух случайных событий.

8. Какие события называются независимыми в совокупности? Какая связь между попарно независимыми событиями и независимыми в совокупности?

9. Сформулируйте теорему умножения для n случайных событий, независимых в совокупности.

10. Напишите формулу полной вероятности.

11. Какой вид имеет формула Байеса?

12. Определите схему независимых испытаний Бернулли. Что выражает формула Бернулли?

13. Дайте определение наивероятнейшего числа наступлений успеха в n испытаниях и приведите правило его вычисления.

14. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа, а также укажите условия ее применения.

15. Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа, укажите условия ее применения.

16. Приведите типы задач, к которым приводит интегральная теорема Муавра-Лапласа.

17. Приведите формулу Пуассона. При каких условиях она применяется?

Задачи

1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба.

Ответ: 3/8.

2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения номера, большего 4?

Ответ: 1/3.

3. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наудачу два шара окажутся черными?

Ответ: 7/15.

4. В партии из 100 изделий 6 нестандартных. Из партии выбирается 10 изделий. Определить вероятность того, что среди изделий будут ровно 2 нестандартных.

Ответ: р = 0,13.

5. Три охотника договорились стрелять в цель в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,7. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три выстрела.

Ответ: а) 0,7; б) 0,21; в) 0,063.

6. Рабочий обслуживает 3 станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,95, для второго такая вероятность равна 0,9 и для третьего – 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) какой-нибудь один станок не потребует внимания рабочего; в) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Ответ: а) 0,684; 6)0,032; в) 0316.

7. Имеются две урны: в первой – 3 белых шара и 2 черных; во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Ответ: 0,52.

8. На фабрике, изготовляющей изделия, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. а) Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие дефектное? б) Случайно выбранное из продукции изделие оказалось дефектным. Какова вероятность того, что изделие было произведено второй машиной?

Ответ: а) 0,0345; б) 140/345.

9. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?

Ответ: 3/16.

10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

Ответ: р≈0,0916.

11. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Ответ: р 0,051.

12. Всхожесть семени данного растения 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

Ответ: р 0,9737.

13. Вероятность появления “успеха” в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.

Ответ: р 0,9876.

14. Сколько нужно провести опытов с бросанием “правильной” монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонения частоты выпадений “герба” от его вероятности по абсолютной величине, меньшего чем 0,01?

Ответ: n = 7656.