Библиографический список

1. Гмурман. В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.

2. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. – М.: Наука, 1985.

3. Крамер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2001.

4. Белько И.В. Высшая математика для экономистов. Ч.3. – М.: Новое знание, 2002.

5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций // Под ред. А.А. Свешникова, – М.: Наука, 1970.

6. Сборник задач по математике /Под ред. А.В.Ефимова. ТЗ. – М.: Наука, 1984.

Оглавление

А.А. Афонин 1

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1

Учебное пособие 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 3

Федеральное агентство по образованию 3

Государственное образовательное учреждение 3

высшего профессионального образования 3

Таганрогский государственный радиотехнический университет 3

А.А. Афонин 3

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 3

Учебное пособие 3

Таганрог 2005 3

УДК 511 4

Библиогр. : 6 назв. 4

Рецензенты: 4

Нахушев А.М., доктор физ.-мат. наук, профессор, академик РАЕН, президент АМАН; 4

Грищенко О.В., канд. эконом.наук, доцент каф. бух.учета и аудита ТИУЭ. 4

Введение 5

1. Случайные события и вероятность 6

1.1. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий 6

1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности 8

1.3. Элементы комбинаторики. Некоторые содержательные задачи 9

1.4. Аксиоматическое введение вероятности 13

1.5. Теоремы о вероятностях случайных событий 13

1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса 16

1.7. Геометрические вероятности 17

1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа 18

Решение. Используя формулу (1.8.11), имеем 23

Вопросы для самопроверки 23

Задачи 25

2. Случайные величины 26

2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд распределения. Функция распределения 26

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид 27

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид 28

F(+∞) = P(X < ∞) = 1. 28

2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности распределения случайной величины 29

Свойство 4. В точках x непрерывности f(x) выполняется равенство 30

1. Случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [а, b] 30

2. Случайная величина с нормальным законом распределения 30

3. Случайная величина с показательным законом распределения 30

С учетом формулы (2.2.2) имеем 31

Р() = Р() = Ф() - Ф() = Ф() - Ф(-) = 2Ф(). 31

Таким образом, 31

2.3. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства 32

1) для случайной величины дискретного типа: 32

2) для случайной величины непрерывного типа: 32

Решение. Ряд распределения этой случайной величины имеет вид 32

MX = . 32

MX = = = =. 33

MX = = = == 33

MX = = = = 1/λ . 33

M(X + Y) = MX + MY. 34

М(XY) = МХМY. 34

Поэтому для случайной величины дискретного типа имеем 34

Действительно, DX = M(X - MX)² = M(X² - 2X MX + (MX)²) = 34

D(X + Y) = DX + DY. 35

DX =(x-MX)²f(x)dx = = = 35

2.4. Пуассоновский поток событий 36

P(X(Δt) = 1) = λΔt + o(Δt), λ>0, 36

Переходя к пределу при , получим 37

Вопросы для самопроверки 38

Задачи 38

MX = , DX =. 39

3. Системы случайных величин 41

3.1. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин 41

Таблица 3.1.1 41

1. Равномерное распределение в области D системы двух случайных величин (X, Y) 43

2. Нормальное распределение вектора (X, Y.) 44

3.2. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины 44

Таблица 3.2.1 45

3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 46

- для системы (X,Y) дискретного типа 46

- для системы (X,Y) дискретного типа 47

- для системы (X,Y) непрерывного типа 47

Если компоненты X и Y некоррелированные, то r = 0 и имеет место равенство 48

Для оценки степени связи обычно используют безразмерное отношение 48

Тогда 48

Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид 49

Вопросы для самопроверки 50

Задачи 51

Ответ: 51

4. Функции случайных величин 52

4.1. Преобразование случайных величин (случай двух переменных) 52

Сравнивая два последних двойных интеграла по области G, имеем 52

4.2. Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин 52

1. Пусть имеем две случайные величины X и Y; известна совместная плотность распределения их . Требуется найти плотность распределения суммы . 52

2. Пусть Z = X - Y, требуется найти . Рассмотрим преобразование 53

Для независимых X и Y получаем 53

3. Пусть , найдем . 53

4. Наконец, пусть . Найдем . 53

Обозначая , имеем 54

Решение. Плотности вероятностей случайных величин X и Y имеют вид 54

Используя формулу (4.2.2) для композиции этих случайных величин, имеем 54

4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной) 55

4.4. ^2-распределение 55

4.5. Распределение Стьюдента 57

4.6. F-распределения Фишера-Снедекора 58

Плотность вероятности F-распределения имеет вид 58

Вопросы для самопроверки 58

Задачи 59

5. Закон больших чисел 60

5.1. Неравенства Чебышева 60

, тогда 60

5.2. Теорема Чебышева 60

5.3. Теорема Бернулли 62

Используя частный случай теоремы Чебышева, имеем 62

5.4. Центральная предельная теорема 62

Таким образом имеем 64

^{Поэтому имеем} 64

Решение: Используя формулу (5.4.7.), имеем 65

Вопросы для самопроверки 65

Задачи 65

6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Системы массового обслуживания 67

6.1. Случайные процессы 67

6.2. Марковские случайные процессы. Марковские цепи 69

6.3. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова 71

Рис. 6.3.1. 72

6.4. Процессы гибели и размножения 73

6.5. Потоки случайных событий 74

6.6. Приложения марковских процессов 75

6.7. Системы массового обслуживания 78

6.8. Системы массового обслуживания с отказами 80

Рис. 6.8.1 80

Многоканальная СМО с отказами 80

Рис. 6.8.2 81

6.9. Системы массового обслуживания с очередями 81

Рис. 6.9.1 81

A=λ; Q=1; P_отк=0; =ρ/(1-ρ); =ρ²/(1-ρ); _сист= ρ/λ(1-ρ); _ог= ρ²/λ(1-ρ); =λ/μ=ρ. 82

Здесь – среднее число заявок в СМО; – среднее число заявок в очереди. 82

Одноканальные системы массового обслуживания с ограниченной очередью 82

Рис. 6.9.2 82

Рис. 6.9.3 83

Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью 83

Рис. 6.9.4 83

(λ+nμ) p_n+1 = λp_n + nμp_n+r; …; (λ+nμ) p_n+r = λp_n+r-1 + nμp_n+r-1, … 84

Простейшая многоканальная СМО с ограниченной очередью 84

Рис. 6.9.5 84

Для характеристик эффективности СМО имеем 84

Рис. 6.9.6 85

Вопросы для самопроверки 85

Задачи 86

7. Математическая статистика 89

7.1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма 89

Рис. 7.1.1 91

Построим статистический ряд относительных частот 91

Рис. 7.1.2 92

7.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины 92

Задача 7.2.1. Имеется статистический ряд для случайной величины X. 95

7.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины 96

1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным  96

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным  97

3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения 99

Поэтому равенство (7.3.14) можно переписать в виде 99

7.4. Построение прямых линий регрессии по выборочным данным 100

1. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по несгруппированным данным 103

Пусть в результате n независимых опытов получены n пар значений системы (): , которые могут быть заданы табл. 7.5.1. По этим статистическим данным найдем сначала параметры (коэффициенты) уравнения (7.4.3) регрессии Y на X: . 103

Формулы для параметров и имеют вид 104

2. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по сгруппированным данным 104

Если ввести соотношение , где 104

Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид 105

Используя вспомогательную таблицу, получим 105

Таким образом, уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид 105

Аналогично уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид 105

Таким образом, уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид 105

7.5. Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин 105

7.6. Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область 107

Нахождение правосторонней критической области 108

Нахождение левосторонней критической области 109

Нахождение двусторонней критической области 109

7.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции 110

7.8. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий ² Пирсона 111

Таблица 7.8.1 111

7.9. Сравнение генеральных средних двух распределенных по нормальному закону случайных величин. Сравнение генеральных средних двух произвольно распределенных случайных величин (большие независимые выборки) 114

Двусторонняя критическая область 115

Рис. 7.9.1 115

Так как , где – функция Лапласа, 115

Правосторонняя критическая область 116

Так как _кркр, то 116

Рис. 7.9.2 116

Левосторонняя критическая область 116

Рис. 7.9.3 116

7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки) 118

Рис. 7.10.1 118

Рис. 7.10.2 119

Рис. 7.10.3 119

7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 119

Правосторонняя критическая область 120

Двусторонняя критическая область 120

7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события 121

Двусторонняя критическая область 121

Рис. 7.12.1 121

P (0<K<k_кр)=Ф (k_кр), P (K> k_кр)=/2, то 122

Правосторонняя критическая область 122

Так как P (0<K<k_кр) + P (K>k_кр) = 1/2, то 122

Рис. 7.12.2 122

Левосторонняя критическая область 122

Рис. 7.12.3 122

Вопросы для самопроверки 123

Задачи 124

Ответ: 125

8. Варианты контрольной paбoты № 1 по теории вероятностей 127

ВАРИАНТ 1 127

ВАРИАНТ 2 127

ВАРИАНТ 3 128

ВАРИАНТ 4 129

ВАРИАНТ 5 129

ВАРИАНТ 6 130

ВАРИАНТ 7 131

ВАРИАНТ 8 132

ВАРИАНТ 10 133

9. Варианты контрольной работы № 2 по случайным процессам и математической статистике 135

ВАРИАНТ 1 135

ВАРИАНТ 2 136

ВАРИАНТ 3 136

ВАРИАНТ 4 137

ВАРИАНТ 5 138

ВАРИАНТ 6 139

Задача 3. Дано распределение месячной зарплаты рабочих 140

ВАРИАНТ 7 140

ВАРИАНТ 8 141

ВАРИАНТ 9 142

ВАРИАНТ 10 143

Приложение 145

Суммарные вероятности для распределения Пуассона 146

Таблица П3 147

Таблица значений функции 147

Таблица П4 148

Таблица значений функции 148

Таблица П5 149

Таблица значений t_= t (, n) 149

Таблица П6 150

Таблица П7 150

^{Критические точки распределения }2 150

Таблица П8 151

Критические точки распределения Стьюдента 151

Таблица П9 152

Критические точки F-распределения Фишера-Снедекора 152

Библиографический список 153

Оглавление 154

Теория вероятностей 161

Учебное пособие 161

Ответственный за выпуск Афонин А.А. 161

Редактор Надточий З.И. 161

Корректор Селезнева Н.И. 161

ЛР №020565 от 23 июня 1997г. 161

ГСП 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44 161

ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1 161

Афонин Анатолий Андреевич

Теория вероятностей

Математическая статистика

Случайные процессы

Учебное пособие

Ответственный за выпуск Афонин А.А.

Редактор Надточий З.И.

Корректор Селезнева Н.И.

ЛР №020565 от 23 июня 1997г.

Подписано к печати . Формат 60х84¹/₁₆

Печать офсетная. Бумага офсетная.

Усл.п.л. – 9,5 Уч.-изд. – 9,4

Заказ № . Тираж 300 экз.

«С»

Издательство Таганрогского государственного радиотехнического университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44

Типография Таганрогского государственного радиотехнического университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1