- •Введение
- •1. Случайные события и вероятность
- •1.1. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики. Некоторые содержательные задачи
- •1.4. Аксиоматическое введение вероятности
- •1.5. Теоремы о вероятностях случайных событий
- •1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.7. Геометрические вероятности
- •1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд распределения. Функция распределения
- •2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности распределения случайной величины
- •2.3. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства
- •2.4. Пуассоновский поток событий
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин
- •3.2. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Преобразование случайных величин (случай двух переменных)
- •4.2. Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин
- •4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)
- •4.5. Распределение Стьюдента
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Неравенства Чебышева
- •5.2. Теорема Чебышева
- •5.3. Теорема Бернулли
- •5.4. Центральная предельная теорема
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Системы массового обслуживания
- •6.1. Случайные процессы
- •6.2. Марковские случайные процессы. Марковские цепи
- •6.3. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова
- •6.4. Процессы гибели и размножения
- •6.5. Потоки случайных событий
- •6.6. Приложения марковских процессов
- •6.7. Системы массового обслуживания
- •6.8. Системы массового обслуживания с отказами Одноканальная смо с отказами
- •6.9. Системы массового обслуживания с очередями
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Математическая статистика
- •7.1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма
- •7.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины
- •7.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Построение прямых линий регрессии по выборочным данным
- •1. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по несгруппированным данным
- •2. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •7.5. Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин
- •7.6. Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область
- •7.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •7.8. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий 2 Пирсона
- •7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки)
- •7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Варианты контрольной paбoты № 1 по теории вероятностей вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •9. Варианты контрольной работы № 2 по случайным процессам и математической статистике вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Приложение
- •Суммарные вероятности для распределения Пуассона
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Библиографический список
Вариант 10
Задача 1. Генетика и демография. Пусть в некотором обществе у каждого мужчины имеется только один сын. И пусть рослый отец имеет сына высокого роста с вероятностью 0,6, сына среднего роста с вероятностью 0,2 и низкого сына с вероятностью 0,2. Отец среднего роста имеет сына высокого роста, среднего или низкого с вероятностями 0,1, 0,7, 0,2 соответственно. Низкорослый отец имеет сына высокого, среднего или низкого роста с вероятностями 0,4, 0,2, 0,4 соответственно. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что правнук высокого мужчины будет низкого роста. Построить соответствующий ориентированный граф.
Задача 2. Железнодорожная касса имеет две кассы, в каждой из которых продаются билеты в два пункта А и В. Потоки пассажиров, приобретающих билеты в А и В – простейшие с интенсивностью 0,45 пас./мин. Время обслуживания пассажира – показательное со средним временем обслуживания 2 мин. Поступило предложение: с целью уменьшения очередей (в интересах пассажиров) сделать обе кассы специализированными - в первой продавать билеты только в А, а во второй - только в В.
Проверить разумность этого предложения с точки зрения показателей эффективности данной СМО.
Задача 3. Имеются выборочные данные по одному из цехов о дневной выработке
Х (детали) |
31-33 |
33-35 |
35-37 |
37-39 |
39-41 |
Число рабочих |
11 |
15 |
28 |
14 |
12 |
Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Задача 4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью , зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение = 71,13; n =144; = 8; = 0,95.
Задача 5. С помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х, если известны ее эмпирические и теоретические частоты:
|
5 |
34 |
25 |
13 |
5 |
|
7 |
21 |
24 |
15 |
15 |
Задача 6. Методами корреляционного анализа исследовать зависимость между выпуском продукции X (тыс.шт.) и себестоимостью одного изделия Y (тыс.руб.) на основе следующих данных. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном уровне значимости =0,05. Построить линейное уравнение регрессии.
X |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Y |
10 |
8 |
7 |
5 |
2 |