- •Введение
- •1. Случайные события и вероятность
- •1.1. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики. Некоторые содержательные задачи
- •1.4. Аксиоматическое введение вероятности
- •1.5. Теоремы о вероятностях случайных событий
- •1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.7. Геометрические вероятности
- •1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд распределения. Функция распределения
- •2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности распределения случайной величины
- •2.3. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства
- •2.4. Пуассоновский поток событий
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин
- •3.2. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Преобразование случайных величин (случай двух переменных)
- •4.2. Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин
- •4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)
- •4.5. Распределение Стьюдента
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Неравенства Чебышева
- •5.2. Теорема Чебышева
- •5.3. Теорема Бернулли
- •5.4. Центральная предельная теорема
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Системы массового обслуживания
- •6.1. Случайные процессы
- •6.2. Марковские случайные процессы. Марковские цепи
- •6.3. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова
- •6.4. Процессы гибели и размножения
- •6.5. Потоки случайных событий
- •6.6. Приложения марковских процессов
- •6.7. Системы массового обслуживания
- •6.8. Системы массового обслуживания с отказами Одноканальная смо с отказами
- •6.9. Системы массового обслуживания с очередями
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Математическая статистика
- •7.1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма
- •7.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины
- •7.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Построение прямых линий регрессии по выборочным данным
- •1. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по несгруппированным данным
- •2. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •7.5. Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин
- •7.6. Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область
- •7.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •7.8. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий 2 Пирсона
- •7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки)
- •7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Варианты контрольной paбoты № 1 по теории вероятностей вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •9. Варианты контрольной работы № 2 по случайным процессам и математической статистике вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Приложение
- •Суммарные вероятности для распределения Пуассона
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Библиографический список
Вариант 5
Задача 1. Энергетика. Потребление электроэнергии летом тесно связано с температурой воздуха. Поэтому производители электроэнергии должны учитывать вероятность установления жаркой, умеренно теплой или холодной погоды. Многолетние наблюдения за летней погодой в некотором регионе показали: вероятности перехода от жаркой погоды к жаркой, умеренной и холодной равны 1/3, 1/2, 1/6 соответственно; от умеренной к жаркой, умеренной и холодной 1/2, 1/3, 1/6; от холодной к жаркой, умеренной и холодной 1/3, 1/3, 1/3 соответственно. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что в ближайшие 2 дня сохранится сегодняшняя погода при условии, что сегодня с равной вероятностью может быть жарко, умеренно тепло или холодно. Построить соответствующий ориентированный граф.
Задача 2. На коммутатор, имеющий три внешние линии связи, поступает в среднем в час 60 требований на связь. Средняя продолжительность разговоров 3 мин. Пусть время обслуживания показательное. Определить: а) вероятность отказа абоненту; б) среднее число занятых линий.
Задача 3. ОТК завода было проверено 5 партий по 100 изделий в каждой партии. Число обнаруженных бракованных изделий в партиях приведено таблице.
-
Номер партии
1
2
3
4
5
Число браков изделий
4
2
3
6
1
Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Задача 4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью , зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение : =79,.01; n=l,10; =4; =0,93.
Задача 5. С помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х, если известны ее эмпирические и теоретические частоты:
-
6
18
14
10
2
7
13
20
8
2
Задача 6. Методами корреляционного анализа исследовать зависимость между выпуском продукции X (тыс.шт.) и себестоимостью одного изделия Y (тыс.руб.) на основе следующих данных. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном уровне значимости =0,05. Построить линейные уравнения регрессии.
-
Х
10
15
20
25
30
Y
5
10
15
20
24