Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TV.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
4.83 Mб
Скачать

7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события

Пусть произведено достаточно большое число испытаний n, в каждом из которых некоторое событие наступает с вероятностью р, которое неизвестно. Требуется по относительной частоте проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетической вероятности , т.е. . Так как вероятность оценивается по относительной частоте, то требуется установить значимо или незначимо отличается относительная частота от гипотетической вероятности. В качестве критерия возьмем следующую случайную величину:

. (7.12.1)

Известно, что при случайная величина сходится по вероятности к . Нетрудно показать, что при больших n случайную величину К можно считать приближенно распределенной по нормальному закону . Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Двусторонняя критическая область

Пусть при конкурирующей гипотезе . Задаем уровень значимости ; двусторонняя критическая область определяется из условия, чтобы вероятность попадания критерия в эту область (в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна ). Левую и правую критические точки выбираем из условий

P (K<kлев.кр)=/2, P (K>kпр.кр)=/2.

В силу симметрии закона распределения К критические точки kлев.кр и kпр.кр симметричны относительно точки z=0 и обозначаются соответственно -kкр и kкр (рис. 7.12.1); поэтому задача сводится к нахождению kкр.

Рис. 7.12.1

Так как P (0<K<kкр)=Ф (kкр) и P (0<K<kкр)+P (K>kкр)=1/2,

P (0<K<kкр)=Ф (kкр), P (K> kкр)=/2, то

Ф (kкр)=(1-)/2. (7.12.2)

Из равенства (7.12.2) по табл. 4 приложения определяется kкр. Таким образом, критическая область определяется неравенствами: К<- kкр, K> kкр.

По формуле (7.12.1) и данным задачи определяем Kнаб. Если |Kнаб | < kкр, нулевая гипотиза принимается; если же | Kнаб | > kкр, – принимается Н0.

Правосторонняя критическая область

Пусть Н0: р=р0 при конкурирующей гипотезе Н1: р > р0. В этом случае критическая область определяется из условия: P (K> kкр)=.

Так как P (0<K<kкр) + P (K>kкр) = 1/2, то

Ф (kкр)=1/2-. (7.12.3)

находим из формулы (7.12.3) по табл. 4 приложения. Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством (рис. 7.12.2).

Рис. 7.12.2

Если Kнаб > kкр – нулевая гипотеза отвергается.

Если Kнаб < kкр – нулевая гипотеза принимается.

Левосторонняя критическая область

Пусть при нулевой гипотезе конкурирующая имеет вид . В этом случае речь идет о левосторонней критической области, определяемой равенством P (K< kкр) = . (рис. 7.12.3)

Рис. 7.12.3

В силу симметричности распределения K относительно , заключаем, что k’кр симметрична такой kкр>0, что P (K > kкр) = ., т.е. . Следовательно, находим сначала вспомогательную точку по равенству , а затем полагаем k’кр = –kкр.

Если – нулевая гипотеза отвергается.

Если – нулевая гипотеза принимается.

Задача 7.12.1. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота . При уровне значимости =0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. Находим сначала по табл. 4 приложения критическую точку для двусторонней критической области из равенства (6.4.2).

.

Находим по формуле (7.12.1) наблюдаемые значения критерия :

.

Очевидно, . Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]