
- •Введение
- •1. Случайные события и вероятность
- •1.1. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики. Некоторые содержательные задачи
- •1.4. Аксиоматическое введение вероятности
- •1.5. Теоремы о вероятностях случайных событий
- •1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.7. Геометрические вероятности
- •1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд распределения. Функция распределения
- •2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности распределения случайной величины
- •2.3. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства
- •2.4. Пуассоновский поток событий
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин
- •3.2. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Преобразование случайных величин (случай двух переменных)
- •4.2. Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин
- •4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)
- •4.5. Распределение Стьюдента
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Неравенства Чебышева
- •5.2. Теорема Чебышева
- •5.3. Теорема Бернулли
- •5.4. Центральная предельная теорема
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Системы массового обслуживания
- •6.1. Случайные процессы
- •6.2. Марковские случайные процессы. Марковские цепи
- •6.3. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова
- •6.4. Процессы гибели и размножения
- •6.5. Потоки случайных событий
- •6.6. Приложения марковских процессов
- •6.7. Системы массового обслуживания
- •6.8. Системы массового обслуживания с отказами Одноканальная смо с отказами
- •6.9. Системы массового обслуживания с очередями
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Математическая статистика
- •7.1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма
- •7.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины
- •7.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Построение прямых линий регрессии по выборочным данным
- •1. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по несгруппированным данным
- •2. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •7.5. Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин
- •7.6. Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область
- •7.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •7.8. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий 2 Пирсона
- •7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки)
- •7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Варианты контрольной paбoты № 1 по теории вероятностей вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •9. Варианты контрольной работы № 2 по случайным процессам и математической статистике вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Приложение
- •Суммарные вероятности для распределения Пуассона
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Библиографический список
7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события
Пусть
произведено достаточно большое число
испытаний n, в каждом из которых некоторое
событие
наступает с вероятностью р, которое
неизвестно. Требуется по относительной
частоте
проверить нулевую гипотезу, состоящую
в том, что неизвестная вероятность р
равна гипотетической вероятности
,
т.е.
.
Так как вероятность оценивается по
относительной частоте, то требуется
установить значимо или незначимо
отличается относительная частота
от гипотетической вероятности. В качестве
критерия возьмем следующую случайную
величину:
. (7.12.1)
Известно,
что при
случайная величина
сходится по вероятности к
.
Нетрудно показать, что при больших n
случайную величину К можно считать
приближенно распределенной по нормальному
закону
.
Критическая область строится в зависимости
от вида конкурирующей гипотезы.
Двусторонняя критическая область
Пусть
при конкурирующей гипотезе
.
Задаем уровень значимости
;
двусторонняя критическая область
определяется из условия, чтобы вероятность
попадания критерия в эту область (в
предположении справедливости нулевой
гипотезы, была равна ).
Левую и правую критические точки выбираем
из условий
P (K<kлев.кр)=/2, P (K>kпр.кр)=/2.
В силу симметрии закона распределения К критические точки kлев.кр и kпр.кр симметричны относительно точки z=0 и обозначаются соответственно -kкр и kкр (рис. 7.12.1); поэтому задача сводится к нахождению kкр.
Рис. 7.12.1
Так как P (0<K<kкр)=Ф (kкр) и P (0<K<kкр)+P (K>kкр)=1/2,
P (0<K<kкр)=Ф (kкр), P (K> kкр)=/2, то
Ф (kкр)=(1-)/2. (7.12.2)
Из равенства (7.12.2) по табл. 4 приложения определяется kкр. Таким образом, критическая область определяется неравенствами: К<- kкр, K> kкр.
По формуле (7.12.1) и данным задачи определяем Kнаб. Если |Kнаб | < kкр, нулевая гипотиза принимается; если же | Kнаб | > kкр, – принимается Н0.
Правосторонняя критическая область
Пусть Н0: р=р0 при конкурирующей гипотезе Н1: р > р0. В этом случае критическая область определяется из условия: P (K> kкр)=.
Так как P (0<K<kкр) + P (K>kкр) = 1/2, то
Ф (kкр)=1/2-. (7.12.3)
находим
из формулы (7.12.3) по табл. 4 приложения.
Таким образом, правосторонняя критическая
область определяется неравенством
(рис.
7.12.2).
Рис. 7.12.2
Если Kнаб > kкр – нулевая гипотеза отвергается.
Если Kнаб < kкр – нулевая гипотеза принимается.
Левосторонняя критическая область
Пусть
при нулевой гипотезе
конкурирующая имеет вид
.
В этом случае речь идет о левосторонней
критической области, определяемой
равенством P (K< kкр)
= .
(рис. 7.12.3)
Рис. 7.12.3
В
силу симметричности распределения K
относительно
,
заключаем, что k’кр
симметрична такой kкр>0,
что P (K > kкр)
= .,
т.е.
.
Следовательно, находим сначала
вспомогательную точку
по равенству
,
а затем полагаем k’кр
= –kкр.
Если
–
нулевая гипотеза отвергается.
Если
–
нулевая гипотеза принимается.
Задача
7.12.1. По 100
независимым испытаниям найдена
относительная частота
.
При уровне значимости =0,05
проверить нулевую гипотезу
при
конкурирующей гипотезе
.
Решение. Находим сначала по табл. 4 приложения критическую точку для двусторонней критической области из равенства (6.4.2).
.
Находим
по формуле (7.12.1) наблюдаемые значения
критерия
:
.
Очевидно,
.
Нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.