7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Как
известно, дисперсия является мерой
рассеяния случайной величины. Сравнение
дисперсий генеральных совокупностей
поэтому может означать сравнение
точности соответствующих им приборов
или методов исследования с целью выбора
того инструмента или метода, которые
обеспечивают наименьшее рассеяние
результатов измерений, т.е. меньшую
дисперсию. Пусть генеральные совокупности
X и Y распределены по нормальному закону.
Пусть из этих совокупностей извлечены
две независимые выборки с объемами
соответственно
и по ним найдены «исправленные» дисперсии
.
Требуется по «исправленным» дисперсиям
при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу о равенстве
генеральных дисперсий
.
Такая задача ставится потому, что, как
правило, выборочные дисперсии
отличаются
друг от друга, и возникает вопрос, значимо
или незначимо они отличаются.
Если
в результате исследования выяснится,
что нулевая гипотеза справедлива, т.е.
генеральные дисперсии равны, различие
«исправленных» дисперсий
не является значимым и объясняется
случайными причинами. Если же нулевая
гипотеза отвергнута, то наличие
«исправленных» дисперсий значимо, не
может быть объяснено случайными причинами
и является следствием того, что генеральные
дисперсии совокупностей X и Y различны.
В качестве критерия возьмем случайную
величину
,
являющуюся отношением большей
«исправленной» дисперсии к меньшей,
т.е.
.
(7.11.1)
Величина
(7.11.1) при справедливости нулевой гипотезы
представляет собой распределение
Фишера-Снедекора со степенями свободы
,
где
–
объем выборки с большей «исправленной»
дисперсией;
– объем выборки с меньшей дисперсией.
Критическая область определяется видом
конкурирующей гипотезы.
Правосторонняя критическая область
Пусть
при нулевой гипотезе
конкурирующей является гипотеза
.
В этом случае речь идет об односторонней
(правосторонней) критической области,
которая находится исходя из требования,
чтобы
кр
,
(7.11.2)
где
– принятый
уровень значимости.
По
выборочным данным и величине (7.11.1)
находим наблюдаемое значение критерия
наб,
кр
находят по заданному уровню значимости
и числам степеней свободы
по табл. 9 приложения критических точек
распределения Фишера-Снедекора
приложения.
Двусторонняя критическая область
Пусть
нулевая гипотеза
при конкурирующей гипотезе
.
В этом случае, если обозначить через
левую границу критической области, а
через
– правую, то двусторонняя критическая
область определяется из следующих
равенств:
. (7.11.3)
Правую
критическую точку
кр
отыскивают по уровню значимости
и числам степеней свободы
по табл. 9 критических точек распределения
Фишера-Снедекора приложения.
Таблица не содержит левых критических точек, однако их можно и не отыскивать, т.к. нахождение правой критической точки кр из второго равенства (7.11.3) обеспечивает попадание критерия в левую часть критической области. После нахождения правой критической точки кр. найдем наблюдаемое значение критерия наб. Если наб> кр – нулевую гипотезу отвергают; если наб< кр – нет основания отвергать ее.
Задача
7.11.1 По двум
независимым выборкам объема
нормальных генеральных совокупностей
найдены «исправленные» дисперсии
соответственно
При уровне значимости
=
0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве
генеральных дисперсий.
Решение.
Подставив значения
в формулу (7.11.1) для критерия, найдем
наблюдаемое значение критерия
наб
.
По табл. 9 приложения критических точек
распределения Фишера-Снедекора по
уровню значимости
=
0,025 и числам степеней свободы
найдем
кр
= 3,59. Так как
наб
кр
- нулевая гипотеза принимается, т.е.
гипотезу о равенстве генеральных
дисперсий можно считать согласующейся
с результатами наблюдений.