7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки)
Пусть генеральные совокупности X и Y распределены по нормальному закону, но их дисперсии неизвестны. В этом случае нельзя применять указанный в п.2 предыдущего параграфа метод сравнения генеральных средних, так как малые выборки не дают хорошей оценки генеральным дисперсиям. Если же дополнительно предположить, что неизвестные дисперсии равны (или есть основания считать их равными), то можно построить удобный критерий (критерий Стьюдента) для сравнения генеральных средних двух совокупностей при малых объемах выборки (m, n < 30). В качестве критерия примем следующую случайную величину:
. (7.10.1)
Доказано,
что случайная величина T распределена
(при условии справедливости нулевой
гипотезы
по закону
Стьюдента
с k = m + n -2 степенями свободы. Вид критической
области зависит от вида конкурирующей
гипотезы.
Двусторонняя критическая область определяется в случае, если конкурирующая гипотеза имеет вид . В силу симметричности распределения Стьюдента, критические точки симметричны относительно t = 0 (рис. 7.10.1):
Рис. 7.10.1
двуст.кр
определяется по табл. 8 приложения
критических (двусторонних) точек для
распределения Стьюдента по уровню
значимости
и числу степеней свободы
из условия формулы
двуст.кр
.
(7.10.2)
На основании выборочных данных по формуле (7.10.1) находим наблюдаемое значение критерия наб.
Если
наб
двуст.кр.,
нулевая гипотеза
отвергается.
Если
наб
двуст.кр
– нет оснований отвергать нулевую
гипотезу.
Правосторонняя критическая область может быть построена при конкурирующей гипотезе . В этом случае она определяется (при условии справедливости нулевой гипотезы) из равенства
пр.кр.
(7.10.3)
и имеет вид (рис.7.10.2).
Рис. 7.10.2
Правосторонняя критическая точка пр.кр определяется по табл. 8 критических (односторонних) точек для распределения Стьюдента по уровню значимости и числу степеней свободы из условия (7.10.3).
Если
наб
пр.кр
– нулевая гипотеза
отвергается; если
наб
пр.кр
– нет оснований отвергать нулевую
гипотезу.
Если
конкурирующая гипотеза
,
речь идет о левосторонней
критической области, которая
определяется на основании равенства
лев.кр
и имеет вид
(рис. 7.10.3):
Рис. 7.10.3
Сначала
находят «вспомогательную» критическую
точку
пр.кр
лев.кр,
которую определяют, как указано ранее,
из условия
пр.кр
,
а затем принимают
лев.кр
пр.кр.
Если
наб
лев.кр,
нулевая гипотеза отвергается, если же
наб
лев.кр
– нет оснований отвергать ее.
Задача
7.10.1. По двум
независимым малым выборкам, объемы
которых соответственно равны
,
извлеченных из нормальных генеральных
совокупностей X и Y, найдены выборочные
средние
и «исправленные» дисперсии
.
При уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
при конкурирующей гипотезе
.
Решение. По формуле (7.10.1) определяем наблюдаемое значение критерия
наб
.
По табл. 8 приложения находим критическую точку двуст.кр= 2,09. Так как наб двуст.кр., нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних совокупностей X и Y, а различие выборочных средних обусловлено случайными причинами.