6.8. Системы массового обслуживания с отказами Одноканальная смо с отказами

Пусть СМО имеет один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ (среднее время обслуживания ).

СМО имеет два состояния: s₀ – канал свободен; s₁ – канал занят. Граф состояний имеет простой вид (рис. 6.8.1).

Рис. 6.8.1

Уравнения для предельных вероятностей состояний имеют вид

λp₀ = μp₁ ; μp₁ = λp₀, (6.8.1)

которые вырождаются в одно уравнение; решая его вместе с нормированным уравнением

p₀ + p₁ = 1,

получим для предельных вероятностей

; . (6.8.2)

p₀ представляет собой среднее относительное время пребывания СМО в состоянии s₀; p₁ - среднее относительное время пребывания СМО в состоянии s₁.

Несложно подсчитать основные характеристики эффективности СМО. Относительная пропускная способность СМО вычисляется по формуле ; вероятность отказа ; абсолютная пропускная способность СМО .

Многоканальная СМО с отказами

Пусть СМО имеет n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания любого из n каналов имеет интенсивность μ. Найдем предельные вероятности состояний и основные характеристики работы СМО. СМО в этом случае имеет следующие состояния: s₀ - СМО свободна; s₁ – занят один канал, остальные свободны; ...; s_k - заняты k каналов, остальные свободны; ...; s_n - заняты все n каналов.

Граф состояний СМО имеет следующий вид

λ

nμ

^{… …}

^{Рис. 6.8.2}

Финальные вероятности состояний СМО вычисляются с помощью аналогичных формул схемы размножения и гибели :

^{…; …;} (6.8.3)

Введем параметр , называемый приведенной интенсивностью потока заявок, иначе, интенсивностью нагрузки канала. Тогда формулы (6.8.3) можно переписать в более удобной форме:

…; (6.8.4)

Формулы (6.8.4) называют формулами Эрланга. Характеристики эффективности работы СМО:

1) вероятность отказа

2) относительная пропускная способность СМО

3) абсолютная пропускная способность СМО

4) среднее число занятых каналов или

6.9. Системы массового обслуживания с очередями

Одноканальные системы массового облуживания с неограниченной очередью

Пусть на одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ, а время обслуживания - показательное с интенсивностью μ. Пусть теперь заявки в случае, если канал обслуживания занят, не получают отказ, а становится в очередь, причем длина очереди неограничена. Считая процесс обслуживания марковским процессом, сформируем состояния системы следующим образом: s₀ – СМО свободна; s₁ – канал занят, очереди нет; s₂ – канал занят, одна заявка стоит в очереди; … ; s_k – канал занят, (k-1) заявок стоит в очереди; … Граф состояний системы представлен на рис. 6.9.1.

^{… …}

^{Рис. 6.9.1}

Система уравнений для предельных вероятностей состояний полученная из соответствующих уравнений Колмогорова, имеет вид :

λp₀ = μp₁; (λ + )p₁ = p₀ + р₂; … ; (λ + )p_k = р_k-1 + μp_k+1; …

Из этой системы уравнений при условиях и имеем следующие формулы для финальных вероятностей

p₀ =1-ρ; p_k = ρ^k(1 – ρ), k = 1,2,… (6.9.1)

Для характеристик эффективности СМО имеем следующие формулы:

A=λ; Q=1; P_отк=0; =ρ/(1-ρ); =ρ²/(1-ρ); _сист= ρ/λ(1-ρ); _ог= ρ²/λ(1-ρ); =λ/μ=ρ.

Здесь – среднее число заявок в СМО; – среднее число заявок в очереди.

Одноканальные системы массового обслуживания с ограниченной очередью

Пусть на одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ, время обслуживания – показательное с интенсивностью μ=1/ _обс.

Пусть теперь очередь имеет ограниченную длину и состоит из m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО.

Сформируем состояния следующим образом: s₀ – СМО свободна; s₁ – канал занят, одна заявка стоит в очереди; …; s_k – канал занят, k-1 заявок стоят в очереди; …; s_m+1 – канал занят, m заявок стоит в очереди. Граф состояний системы представлен на рис. 6.9.2.

λ

λ

^…

Рис. 6.9.2

Система уравнений для предельных вероятностей системы, полученная из соответствующих уравнений Колмогорова, имеет вид:

λp₀ = μp₁; (λ + )p₁ = p₀ + μp₂; … ; λp_m = μp_m+1.

Из этой системы уравнений при условии и любом ρ = λ/μ имеем следующие формулы :

p₀ = (1-ρ) / ( 1-ρ^m+2 ) ; p_k = ρ^k p₀ , k = 1, 2, … , m+1; (6.9.3)

Для показателей эффективности системы имеем следующие формулы:

A = λ(1-p_m+1) ; Q = 1-p_m+1 ; P_отк = p_m+1 . = 1 – p₀ ;

; ; ; . (6.9.4)

Задача 6.9.1. В клинике прием больных обеспечивает один врач ; в салоне ожидания приема 3 кресла. Пусть поток клиентов простейший с интенсивностью λ=2 кл./ч. Время обслуживания (приема клиента) – показательное со средним значением мин. Если все три кресла в салоне ожидания заняты, клиент в очередь не становится. Считая процесс марковским, сформировать состояния системы, построить граф состояний системы. Найти предельные вероятности системы, а также показатели ее эффективности .

Решение. Пусть s₀ – СМО свободна; s₁ – врач занят, очереди нет; s₂ – врач занят, в очереди один больной; s₃ – врач занят, в очереди 2 больных ; s₄ – врач занят, в очереди 3 больных; λ=2 кл./ч., μ=3 кл./ч.

Граф состояний системы имеет следующий вид:

Рис. 6.9.3

Предельные вероятности определяются по формулам (6.9.3) при ρ = 2/3. Имеем p₀ 0,384 ; p₁ 0,256 ; p₂ 0,170 ; p₃ 0,114 ; p₄ 0,076. Это означает, что более трети времени (38,4%) врач свободен.

Средняя доля обслуживаемых клиентов Q=1-P_отк = 1-p₄ = 1-0,076 = 0,924.

Среднее число клиентов обслуживаемых врачом за час, равно A= λQ=2·0,924=1,848. Среднее число клиентов в очереди 0,209. Среднее число занятых клиентов (вероятность того, что канал занят) = 1-p₀ 0,616. Среднее число клиентов в клинике = + 0,825. Среднее время пребывания клиента в системе клиники /λ 0,413 ч.

Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью

Пусть имеем n-канальную СМО, на которую поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром μ = 1/ . Если заявка поступает в момент времени, когда все каналы заняты, заявка становится в очередь, длина которой неограничена. Сформируем состояния СМО: s₀ – СМО свободна; s₁ – занят один канал, очереди нет; …; s_k – занято k каналов, очереди нет; …; s_n – заняты все n каналов, очереди нет; …; s_n+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; s_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди и.т.д. Граф состояний СМО имеет следующий вид:

^{… … …}

Рис. 6.9.4

Система уравнений для предельных вероятностей состояний, получаемая из соответствующих состояний Колмогорова, имеет вид

λp₀ = μp₁; (λ+μ) p₁ = λp₀ + 2μp₂; (λ+2μ) p₂ = λp₁+ 3μp₃; …; (λ+nμ) p_n = λp_n-1 + nμp_n+1;

(λ+nμ) p_n+1 = λp_n + nμp_n+r; …; (λ+nμ) p_n+r = λp_n+r-1 + nμp_n+r-1, …

Из последней системы алгебраических уравнений получим формулы для финальных вероятностей состояний:

p₀=(1+ ρ + ρ²/2! + … + ρⁿ/n! + ρⁿ⁺¹/(n n! (1-æ)))^-1, ρ = λ/μ, æ = ρ/n < 1;

, (1 k n); (r 1). (6.9.5)

Для характеристик эффективности имеем следующие формулы:

; = + = +ρ;

/λ; _оч = /λ. (6.9.6)

Простейшая многоканальная СМО с ограниченной очередью

Пусть, как и в предыдущем случае, имеем n-канальную СМО, на которую поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметрами . Но в отличие от предыдущего, если все n каналов заняты, заявка становится в очередь, длина которой ограничена и имеет m мест.

Сформируем состояния СМО: s₀ – СМО свободна; s₁ – занят один канал, очереди нет; …; s_n – заняты n каналов, очереди нет, s_n+1 – заняты n каналов, одна заявка в очереди; …; s_n+m – заняты n каналов, m заявок в очереди.

Граф состояний имеет следующий вид:

^{… …}

Рис. 6.9.5

Система уравнений для предельных вероятностей состояний, полученная из соответствующих уравнений Колмогорова, имеет вид:

λp₀ = µp₁; (λ+µ) p₁ = λp_{0 +} 2µp₂; …; (λ+nµ) p_n = λp_n-1 + nµp_n+1; …; nµp_n+m = λp_n+m-1.

Из последней системы алгебраических уравнений получим формулы для финальных вероятностей состояний:

p₀ = ( )^-1; p_k = (1 k n); p_n+r = (1 r m),

где æ = / n = λ/(nµ). (6.9.7)

Для характеристик эффективности СМО имеем

A=λ(1-p_n+m); Q=1-p_n+m; P_отк = p_m+n; = (1-p_n+m); ;

; ; . (6.9.8)

Задача 6.9.2. СМО, описанная в задаче 6.9.1, претерпела изменения в связи с эпидемией гриппа. В связи с увеличением в два раза интенсивности потока больных, администрация решила увеличить в два раза число обслуживаемых врачей и число кресел для ожидания без уменьшения среднего времени обслуживания. По-прежнему считаем, что если все кресла в зале ожидания заняты, клиент в очередь не становится. Как изменятся показатели эффективности СМО?

Решение. В данном случае СМО имеет два канала обслуживания; λ=4 кл/ч; µ=3 кл/ч; m=6. Пусть s₀ – СМО свободна; s₁ – один врач занят, очереди нет; s₂ – оба врача заняты, очереди нет; s₃ – оба врача заняты, один больной в очереди; s₄ – оба врача заняты, два больных в очереди; s₅ – оба врача заняты, три больных в очереди; s₆ – оба врача заняты, четыре больных в очереди; s₇ – оба врача заняты, пять больных в очереди; s₈ – оба врача заняты, шесть больных в очереди. Граф состояний имеет следующий вид:

Рис. 6.9.6

С помощью формул (6.9.7) получим значение предельных вероятностей состояний:

p₀ 0,206; p₁ 0,275; p₂ 0,183; p₃ 0,122; p₄ 0,081; p₅ 0,054; p₆ 0,037; p₇ 0,025; p₈ 0,017.

Из этого следует, что 20,6% врачи клиники свободны.

Вероятность отказа для пришедшего в клинику больного определяется величиной P_отк =p₈=0,017. Средняя доля обслуживаемых клиникой больных определяется величиной Q=1-p₈ 0,983; среднее число больных, обслуживаемых клиникой за один час A=λQ 3,932; среднее число занятых каналов (врачей) 1,311; среднее число больных в очереди 1,067; среднее число больных в клинике (за 1 час) 2,378; среднее время пребывания больного в клинике равно 0,59 ч.