6.4. Процессы гибели и размножения

Часто имеют дело с системами, граф состояний которых показан на рис. 6.4.1

Граф состояний характеризуется тем, что все состояния вытянуты в цепь , причем каждое из них связано прямой и обратной связью с двумя соседними, кроме двух крайних, каждое из которых связано только с одним соседним.

Такая схема называется схемой гибели и размножения. Схема имеет биологическую интерпретацию: в биологических задачах состояние s_k означает наличие в ней k биологических единиц, причем λ_i и μ_i представляют собой интенсивности ”размножения” и “гибели” соответственно.

С математической точки зрения эта схема представляет собой марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для этой схемы имеет следующий вид:

. . . . . . . . .

Для предельных вероятностей состояний из уравнении Колмогорова получаем однородную СЛАУ:

μ₁p₁ – λ₀ p₀ = 0

λ₀ p₀ + µ₂ p₂ - (λ₁ + μ₁)p₁ = 0, (6.4.1)

. . .

λ_n-1 p_n-1 – μ_np_n = 0

Из уравнений (6.4.1), с учетом нормированного условия p₀ + … + p_n = 1, имеем:

, , …, ,

. (6.4.2)

6.5. Потоки случайных событий

Марковская цепь с непрерывным временем, когда изменение состояний происходит в любые случайные моменты времени, допускает также интерпретацию с точки зрения потока случайных событий. Переход из одного состояния в другое происходит под действием потока случайных событий, наступающих в произвольные случайные моменты времени.

Потоком событий будем называть последовательность случайных однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на АТС; поток забитых голов при игре в футбол; поток заказов на обслуживание в парикмахерских и ателье мод и т.д.

Ранее в п. 2.4 был рассмотрен простейший (пуассоновский) поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия, стационарности и ординарности.

В этом случае марковский случайный процесс X(t) интерпретируется как число случайных событий потока, появившихся в течение времени t ; значение X(t) скачкообразно растет на единицу в случайные моменты времени t₁, t₂, …, t_n.

Интервал времени T между двумя соседними событиями простейшего потока событии является случайной величиной с показательным законом распределения

f(t) = λe^-λt , t>0 . (6.5.1)

Интенсивностью λ потока событий называют среднее число событий, происходящих в единицу времени; для стационарного потока λ = const; для нестационарного – зависит от времени, т.е. λ=λ(t).

Ординарный поток называют потоком Пальма (или потоком с ограниченным последействием), если интервалы времени T₁, T₂, ... между последовательными событиями являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами.

В связи с тем, что T₁,T₂, ... одинаково распределены, поток Пальма всегда стационарен. Простейший поток событий является частным случаем потока Пальма, так как и в нем интервалы между событиями являются одинаково распределенными по показательному закону с параметром λ, где λ – интенсивность потока.

Поток событий, получающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняется каждая k-я точка, а все промежуточные выбрасываются, называют потоком Эрланга k-гo порядка.