Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается сущность закона больших чисел?

2. Сформулируйте и докажите первое и второе неравенства Чебышева.

3. Чем отличается обычное понятие предела от понятия предела по вероятности?

4. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева. Рассмотрите ее частный случай.

5. Какое практическое значение имеет теорема Чебышева ?

6. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.

7. Объясните, пользуясь теоремой Бернулли, свойство устойчивости относительных частот.

8. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы в упрощенной постановке?

9. Сформулируйте и докажите интегральную теорему Муавра-Лапласа (на основании ЦПТ-1).

10. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы в форме Ляпунова?

11. Как применить центральную предельную теорему к оценке вероятности того, что относительная частота отличается от вероятности успеха р по модулю меньше, чем произвольное  > 0? не меньше, чем  > 0?

12. Как применить центральную предельную теорему к оценке вероятности того, что среднее арифметическое случайных величин отличается от их математического ожидания меньше, чем произвольное  > 0?; не меньше, чем  > 0?

Задачи

1. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя центральную предельную теорему, найти вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение частоты события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

Ответ: 0,79.

2. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина модуля отклонения частоты годных деталей от вероятности детали быть годной; равной 0,98; не превысит 0,02?

Ответ: n  1225.

3. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,3.

Ответ: P  0,96.

4. Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготовляемых изделий. Сколько нужно обследовать изделий, чтобы с вероятностью, большей 0,9, можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от математического ожидания этого среднего (принимаемого за среднюю длину изделий во всей партии) не более, чем на 0,001 см? Установлено, что среднее квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см?

Ответ: n  16000.

5. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной при каждой проверке, равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наудачу отобранных деталей бракованных окажется не менее 6.

Ответ: р = 0,921.

6. Известно, что 60 % всего числа изготовляемых заводом изделий выпускается высшего сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них изделий высшего сорта окажется от 120 до 150 штук?

Ответ: 0,4999.

7. Вероятность появления события А в отдельном испытании равна 0,8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частоты события А от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,05.

Ответ: 0,843.

8. «Правильная» игральная кость подброшена 200 раз. Найти вероятность того, что цифра 6 выпала больше 30, но меньше 40 раз.

Ответ: 0,632.

9. Сколько раз нужно подбросить «правильную» монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что частота выпадения герба отклонится от 0,5 меньше, чем на 0,01?

Ответ: n  9560.

10. Вероятность случайного события А (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие произойдет в большинстве случаев при 60 испытаниях.

Ответ: 0,944.