
- •Введение
- •1. Случайные события и вероятность
- •1.1. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики. Некоторые содержательные задачи
- •1.4. Аксиоматическое введение вероятности
- •1.5. Теоремы о вероятностях случайных событий
- •1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1.7. Геометрические вероятности
- •1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд распределения. Функция распределения
- •2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности распределения случайной величины
- •2.3. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства
- •2.4. Пуассоновский поток событий
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин
- •3.2. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Функции случайных величин
- •4.1. Преобразование случайных величин (случай двух переменных)
- •4.2. Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин
- •4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)
- •4.5. Распределение Стьюдента
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Закон больших чисел
- •5.1. Неравенства Чебышева
- •5.2. Теорема Чебышева
- •5.3. Теорема Бернулли
- •5.4. Центральная предельная теорема
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Системы массового обслуживания
- •6.1. Случайные процессы
- •6.2. Марковские случайные процессы. Марковские цепи
- •6.3. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова
- •6.4. Процессы гибели и размножения
- •6.5. Потоки случайных событий
- •6.6. Приложения марковских процессов
- •6.7. Системы массового обслуживания
- •6.8. Системы массового обслуживания с отказами Одноканальная смо с отказами
- •6.9. Системы массового обслуживания с очередями
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Математическая статистика
- •7.1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма
- •7.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины
- •7.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с неизвестным
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Построение прямых линий регрессии по выборочным данным
- •1. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по несгруппированным данным
- •2. Нахождение параметров выборочных уравнений прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •7.5. Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин
- •7.6. Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область
- •7.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •7.8. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий 2 Пирсона
- •7.10. Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки)
- •7.11. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью наступления события
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Варианты контрольной paбoты № 1 по теории вероятностей вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •9. Варианты контрольной работы № 2 по случайным процессам и математической статистике вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Приложение
- •Суммарные вероятности для распределения Пуассона
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Библиографический список
5.2. Теорема Чебышева
Теорема Чебышева является одной из важнейших форм закона больших чисел.
Определение 5.2.1. Пусть имеем последовательность случайных величин:
(5.2.1)
Последовательность
(5.2.1), т.е.
,
называется сходящейся
по вероятности
к случайной величине
,
если для любого
при
.
Записывается:
при
.
(5.2.2)
Лемма
Чебышева 2.
Пусть имеем последовательность
случайных величин, причем
,
при
.
Тогда
при
.
Доказательство. Применим 2-е неравенство Чебышева к случайной величине Xn:
,
так как
при
.
В
силу того, что МХ
=0,
из последнего неравенства имеем Р(
при п
,
а это означает, что
при
.
Теорема
Чебышева.
Пусть
– последовательность попарно независимых
случайных величин, дисперсии которых
ограничены в совокупности:
.
Тогда последовательность
сходится по вероятности к нулю, т.е. для
при
,
иначе
при
.
(5.2.3)
Доказательство:
Рассмотрим случайную
и найдем математическое ожидание
и дисперсию
.
Имеем
;
,
так как по условию
.
Но величина
при
,
тогда
при
.
Поэтому для последовательности
выполняются условия леммы 2 , а значит,
при
,
что и требовалось доказать.
Частный
случай.
Пусть при условиях теоремы Чебышева
i
= 1, 2, …, тогда
из теоремы Чебышева следует, что для
любого
при
;
значит
при
.
(5.2.4)
Теорема Чебышева имеет большое практическое значение и устанавливает связь между средним арифметическим наблюдаемых в опыте значений случайной величины и ее математическим ожиданием; оказывается, эта случайная величина является устойчивой в том смысле, что при соблюдении некоторых условий сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.
5.3. Теорема Бернулли
Теорема
Я.Бернулли является исторически первой
формой закона больших чисел. Она
устанавливает связь между частотой
некоторого события
(успеха) в схеме независимых испытаний
Бернулли и его вероятностью. Доказательство,
данное Бернулли, было весьма сложным.
Простое доказательство было дано
П.Л.Чебышевым как прямое следствие его
теоремы.
Теорема
Бернулли.
Пусть имеем схему независимых испытаний
Бернулли и р-вероятность успеха в каждом
испытании. Тогда частота
успехов в
испытаниях стремится по вероятности к
р
при
,
т.е.
при
.
(5.3.1)
Доказательство. Для схемы независимых испытаний Бернулли относительная частота успехов является случайной величиной.
Пусть X1 – число успехов в 1-м испытании, X2 – число успехов во 2-м испытании и т.д., Xn – число успехов в -испытании. Тогда
X1 |
0 |
1 |
P |
q |
p |

.
Аналогично,
для любого i
= 1, 2, …, n.
Имеем
,
.
Используя частный случай теоремы Чебышева, имеем
при .
Теорема
Бернулли является теоретическим
обоснованием практического определения
вероятностей с помощью относительной
частоты
(например, практическое определение
вероятности выпадения герба при
достаточно большом числе бросаний
монеты). Закон больших чисел Бернулли
утверждает, что для любого ε>0
и для
фиксированного достаточно большого
очень правдоподобно, что частота
будет отклоняться от вероятности
по модулю меньше, чем на
.
Отсюда, однако, не следует, что
останется малой для всех достаточно
больших п.
Теорема Бернулли гарантирует лишь, что
эти отклонения могут появляться весьма
редко.