Вопросы для самопроверки

1. Как определяется закон распределения функции двух случайных аргументов?

2. Написать формулу закона распределения суммы двух случайных величин.

3. Написать формулу закона распределения разности двух случайных величин.

4. Построить закон распределения произведения двух случайных величин.

5. Построить закон распределения частного двух случайных величин.

6. Как находится закон распределения функции одного случайного аргумента?

7. Что значит построить композицию двух законов распределения?

8. Какой закон распределения получается при композиции нормальных законов распределения?

9. Определите и запишите закон распределения случайной величины ².

10. Определите и запишите закон для распределения Стьюдента.

11. Определите и запишите закон распределения Фишера-Снедекора (F‑распределения).

Задачи

1. Доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин X и Y с параметрами соответственно и распределена также по нормальному закону с параметрами .

2. Случайные величины X и Y независимы и имеют одно и то же независимое распределение с плотностью , . Найти композицию этих законов.

Ответ: .

3. Случайные величины X и Y независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0,1]: при и при . Найти композицию этих распределений.

^Ответ:

4. Доказать, что сумма независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона с параметрами и соответственно, распределена также по закону Пуассона с параметрами .

5. Доказать, что сумма независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону с параметрами соответственно, также распределена по биномиальному закону с параметрами .

5. Закон больших чисел

Практически достоверными будем называть случайные события, вероятность которых близка к 1; практически невозможными – события, вероятность которых близка к 0. Ряд результатов (теорем) в теории вероятностей о практически достоверных, практически невозможных событиях называют законом больших чисел.

Эта группа теорем устанавливает связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний, а также устанавливает результаты, относящиеся к предельным законам распределения.

5.1. Неравенства Чебышева

Лемма Чебышева 1. Пусть имеем случайную величину X с математическим ожиданием MX. Тогда для любого имеет место неравенство

. (5.1.1)

Доказательство. Введем случайную величину Y:

.

Отсюда, очевидно, .

Тогда законы распределения для Y и Y² имеют вид

Y	0			Y2	0	2
P	P(|X| < )	P(|X|  )		P	P(|X| < )	P(|X|  )

Далее имеем: M(Y²)  M(|X|²), M(Y²) = ²  P(|X|  ), и, наконец, P(|X|  )  M(|X|²)/ ², что и требовалось доказать.

Неравенства Чебышева.

Пусть в неравенстве (5.1.1) вместо случайной величины X взято . Тогда по лемме Чебышева имеем , т.е.

. (5.1.2)

Неравенство (5.1.2) называется 1-м неравенством Чебышева, оно дает оценку сверху вероятности того, что случайное событие отличается от по модулю не меньше чем на . Так как события и взаимно противоположны, то

, тогда

. (5.1.3)

Неравенство (5.1.3) называется 2-м неравенством Чебышева. Оно дает оценку снизу вероятности того, что случайная величина отличается от своего математического ожидания по модулю меньше чем на любое положительное число .