4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)

Пусть X – случайная величина с плотностью распределения и пусть . Требуется найти плотность распределения случайной величины Y.

С одной стороны, y или

с другой стороны,  . ( Здесь - ветви обратной к y = (x) функции ).

Отсюда .

Разделив обе части приближенного равенства на и перейдя к пределу, получим равенство или

. (4.3.1)

Задача 4.3.1. Пусть Х – случайная величина с нормальным распределением с параметрами (0, 1). Найти распределение случайной величины .

Решение. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид

, - < x < .

Функция преобразования имеет вид ; обратная функция имеет две ветви: Используя формулу (4.3.1), имеем

, y > 0. (4.3.2)

4.4. ^2-распределение

Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами (0,1). Плотность распределения ее квадрата Х², согласно выражения (4.3.2), равна при y > 0; а при y  0 функция плотности равна 0.

Пусть теперь каждая из n независимых случайных величин имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1). Введем случайную величину

. (4.4.1)

Случайная величина (4.4.1) называется ²- распределением (хи- квадрат распределением) с n степенями свободы.

Если использовать формулы (4.2.2) и (4.3.2) (n-1) раз для построения композиции распределений независимых случайных величин , получим формулу

(4.4.2)

З

Рис. 4.4.1

десь – гамма-функция, значения которой определяются по таблицам для р > 0.

²- распределение содержит параметр n, который часто называют числом степеней свободы этого распределения . При функция плотности убывает для х > 0, а при n > 2 имеет единственный максимум в точке х = n -2 . Графики функций для некоторых n изображены на рис. 4.4.1.

В

Рис. 4.4.2

ычисляя, как обычно, числовые характеристики этой случайной величины, можно получить формулы для математического ожидания и дисперсии этой случайной величины :

.

Во многих приложениях бывает важно найти вероятность Р того, что величина ² принимает значение, превышающее данную величину . Эта вероятность равна площади, ограниченной ветвью кривой плотности, расположенной справа от (рис. 4.4.2).

Таким образом,

, где – функция распределения этой случайной величины.

О

Рис. 4.4.3

бычно более удобно табулировать как функцию вероятности P. Если p выражается в процентах , скажем , то называют р-процентным значением, иначе р-процентным квантилем этого распределения.

Замечание. В задачах математической статистики используется случайная величина – -распределение с n степенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины имеет вид

(4.4.3)

На рис. 4.4.3 представлен график плотности распределения этой случайной величины при некоторых n.

4.5. Распределение Стьюдента

Пусть Z – случайная величина, имеющая нормальное распределение N(0,1), а V – независимая от Z случайная величина, распределенная по закону ² с n степенями свободы. Введем случайную величину

. (4.5.1)

Тогда соответствующая этой случайной величине плотность распределения имеет вид

, где 33. (4.5.2)

Распределение, определяемое функцией плотности s_n(x), известно под названием распределения Стьюдента или t-распределения. Оно было впервые использовано в одной важной статистической проблеме В.Госсетом, писавшим под псевдонимом “Стьюдент” (Student). Как и в случае ²-распределения, параметр n часто называют числом степеней свободы t-распределения.

Нетрудно убедиться, что это распределение унимодально и симметрично относительно x = 0.

При  < n моменты -го порядка конечны. В частности, математическое ожидание конечно при n > 1, а стандартное (среднеквадратическое) отклонение – при n > 2. Вследствие симметричности распределения все существующие моменты нечетного порядка равны нулю. Нетрудно показать, что , (n > 2).

Д

Рис. 4.5.1

ля больших значений n величина T асимптотически нормальна с параметрами (0, 1) в соответствии с соотношением

.

Для небольших значений n t-распределение заметно отличается от предельного нормального распределения. График распределения Стьюдента для n = 3 вместе с приведенной для сравнения нормальной кривой дан на рис. 4.5.1.

В

Рис. 4.5.2

ероятность того, что величина T отличается по модулю более чем на заданную величину от своего математического ожидания (равного нулю), равна площади заштрихованной области на рис. 4.5.2.

В силу симметрии t-распределения она равна

,

где – функция распределения этой случайной величины.

Исходя из этого, можно табулировать t₀ как функцию вероятности P. Если , то соответствующее t₀ = t_p называется р-процентным значением или р-процентным квантилем распределения. Численные значения этой функции даны в табл. 7 приложения.

4.6. F-распределения Фишера-Снедекора

П

Рис. 4.6.1

усть X и Y являются случайными величинами, распределенными по закону ² со степенями свободы m и n соответственно. Тогда случайная величина

^(4.6.1)

называется F-распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы m и n.

Плотность вероятности F-распределения имеет вид

_(4.6.2)

Математическое ожидание и дисперсия этой величины могут быть вычислены как обычно и имеют вид ( n > 2) ,

(n > 4).

При m > 2 распределение этой случайной величины имеет единственную моду в точке . График плотности F-распределения (4.6.2) представлен на рис. 4.6.1