Національний технічний університет України «КПІ»

Факультет інформатіки та обчислювальної техніки

Кафедра автоматизованих систем обробки інформації і управління

Комп`ютерний практикум №5

"Факторний аналіз"

З дисципліни «КТСОІ»

Виконав: студент гр. ІС-21

Калпакчі Дмитро

Київ-2014

Постановка задачі

Маємо вхідні дані, які представляють собою інформацію про продані квартири у Києві агенством з продажу нерухомості (таблиця 1). Дані в табличці характеризують предметну область за допомогою 8 параметрів, які надалі називатимемо змінними (колонки таблиці 1).

Потрібно виділити чинники (бажано, щоб їх було менше, ніж змінних), в термінах яких ми змогли б всебічно та максимально компактно описати задану предметну область.

Математична постановка задачі

Маємо n змінних . Опишемо ці змінні в термінах таких факторів , що кожна зі змінних буде лінійною комбінацією цих факторів. Тобто, в загальному вигляді, повинні отримати:

,

де – терми помилок, які служать для того, щоб показати, що наша залежність не є абсолютно строгою.

Таблиця 1. Дані про продаж квартир у різних районах Києва

Факторний аналіз методом головних компонент

1. Оскільки факторний аналіз проводиться лише по корелюючим змінним, то побудуємо матрицю кореляцій всіх наявних змінних з метою виділити ті, які будуть брати участь у факторному аналізі. (Будемо пропускати ті змінні, кореляція яких більше за 0.5)

Variable	Correlations (Flats.sta) Casewise deletion of MD N=43
	РАЙОН	ВУЛИЦЯ	ЧИСЛО КІМНАТ	ПЛОЩА	ПОВЕРХ	ТЕЛЕФОН	ЦІНА ЗА 1 М	ВАРТІСТЬ
РАЙОН	1.00	0.18	0.18	0.13	-0.16	-0.18	-0.56	-0.26
ВУЛИЦЯ	0.18	1.00	0.02	0.13	0.14	-0.13	-0.16	-0.07
ЧИСЛО КІМНАТ	0.18	0.02	1.00	0.88	0.24	-0.23	-0.07	0.66
ПЛОЩА	0.13	0.13	0.88	1.00	0.29	-0.27	-0.09	0.71
ПОВЕРХ	-0.16	0.14	0.24	0.29	1.00	-0.20	0.11	0.34
ТЕЛЕФОН	-0.18	-0.13	-0.23	-0.27	-0.20	1.00	-0.06	-0.24
ЦІНА ЗА 1 М	-0.56	-0.16	-0.07	-0.09	0.11	-0.06	1.00	0.58
ВАРТІСТЬ	-0.26	-0.07	0.66	0.71	0.34	-0.24	0.58	1.00

В результаті аналізу кореляцій для факторного аналізу відібрано наступні змінні: РАЙОН, ЧИСЛО КІМНАТ, ПЛОЩА, ЦІНА ЗА 1 М, ВАРТІСТЬ.

2. Оскільки бажано, щоб факторів було менше, ніж змінних, то спробуємо виділити 4 фактори, від яких залежатимуть наші змінні. Проведемо аналіз власних значень.

Value	Eigenvalues (Flats.sta) Extraction: Principal components
	Eigenvalue	% Total Variance	Cumulative Eigenvalue	Cumulative %
1	2.540909	50.81818	2.540909	50.81818
2	1.811061	36.22121	4.351969	87.03939
3	0.476188	9.52377	4.828158	96.56316
4	0.133212	2.66424	4.961370	99.22740

Бачимо, що найбільший вплив на модель мають фактори 1 та 2 (пояснюють 50.8% та 36.2% дисперсії відповідно).

3. Використовуючи результати пункту 2 та критерій Кайзера ми можемо скоротити кількість факторів до двох, тобто, за Кайзером, предметна область може бути описана в термінах лише . Перевіримо, чи дійсно це так, обчсливши факторні навантаження.

Variable	Factor Loadings (Unrotated) (Flats.sta) Extraction: Principal components (Marked loadings are >.700000)
	Factor 1	Factor 2	Factor 3	Factor 4
РАЙОН	0.075920	-0.840847	-0.535230	-0.027035
ЧИСЛО КІМНАТ	-0.891362	-0.345585	0.067430	0.285477
ПЛОЩА	-0.907312	-0.326991	0.152565	-0.186293
ЦІНА ЗА 1 М	-0.275947	0.878519	-0.374069	0.058989
ВАРТІСТЬ	-0.917201	0.325405	-0.148212	-0.113136
Expl.Var	2.540909	1.811061	0.476188	0.133212
Prp.Totl	0.508182	0.362212	0.095238	0.026642

Отримали підтвердження критерію Кайзера – фактори 1 та 2 мають найбільший вплив на наші змінні. Проте, бачимо, що фактор 3 теж достатньо сильно впливає на змінну РАЙОН, проте STATISTICA не виділила його як значущий. Це може бути пов'зане з невдалим розташуванням точок відносно використаної системи координат. Спробуємо повернути систему координати, використовуючи метод Varimax для первірки того, чи дійсно фактор 3 можна виключити з нашої моделі.

Variable	Factor Loadings (Varimax normalized) (Flats.sta) Extraction: Principal components (Marked loadings are >.700000)
	Factor 1	Factor 2	Factor 3	Factor 4
РАЙОН	0.063666	0.282569	0.957038	-0.013035
ЧИСЛО КІМНАТ	0.952431	0.001706	0.119461	-0.280357
ПЛОЩА	0.972089	0.052682	0.057656	0.192516
ЦІНА ЗА 1 М	-0.034898	-0.947135	-0.304504	-0.018592
ВАРТІСТЬ	0.757554	-0.605594	-0.142189	0.145127
Expl.Var	2.431241	1.346432	1.046457	0.137240
Prp.Totl	0.486248	0.269286	0.209291	0.027448

Критерій Varimax показав, що фактор 3 насправді є значущим і його не можна видалити з нашої моделі. Тому, наразі, можемо скоротити нашу модель до 3-х факторів.

4. Застосуємо критерій кам'янистої осипи для підтвердження нашої гіпотези (Рис. 1). Бачимо, що спадання власних значень максимально уповільнюється після точки 3, тож за цим критерієм наші змінні можуть бути описані також в термінах 3-х факторів.

5. Спробуємо провести факторний аналіз методом головних компонент, виділивши лише 3 фактори.

Рис. 1. Графік власних значень

Результати факторного аналізу з виділенням 3-х факторів

Value	Eigenvalues (Flats.sta) Extraction: Principal components
	Eigenvalue	% Total	Cumulative	Cumulative
1	2.540909	50.81818	2.540909	50.81818
2	1.811061	36.22121	4.351969	87.03939
3	0.476188	9.52377	4.828158	96.56316

Variable	Factor Loadings (Unrotated) (Flats.sta) Extraction: Principal components (Marked loadings are >.700000)
	Factor 1	Factor 2	Factor 3
РАЙОН	0.075920	-0.840847	-0.535230
ЧИСЛО КІМНАТ	-0.891362	-0.345585	0.067430
ПЛОЩА	-0.907312	-0.326991	0.152565
ЦІНА ЗА 1 М	-0.275947	0.878519	-0.374069
ВАРТІСТЬ	-0.917201	0.325405	-0.148212
Expl.Var	2.540909	1.811061	0.476188
Prp.Totl	0.508182	0.362212	0.095238

Variable	Factor Loadings (Varimax normalized) (Flats.sta) Extraction: Principal components (Marked loadings are >.700000)
	Factor 1	Factor 2	Factor 3
РАЙОН	0.070796	0.283650	0.955923
ЧИСЛО КІМНАТ	0.950337	0.003949	0.123881
ПЛОЩА	0.974539	0.039260	0.046321
ЦІНА ЗА 1 М	-0.043989	-0.946150	-0.301225
ВАРТІСТЬ	0.753439	-0.615785	-0.149170
Expl.Var	2.427484	1.356405	1.044270
Prp.Totl	0.485497	0.271281	0.208854

Variable	Communalities (Flats.sta) Extraction: Principal components Rotation: Varimax normalized
	From 1	From 2	From 3	Multiple
РАЙОН	0.005012	0.085470	0.999259	0.345444
ЧИСЛО КІМНАТ	0.903140	0.903155	0.918502	0.790482
ПЛОЩА	0.949727	0.951268	0.953414	0.901773
ЦІНА ЗА 1 М	0.001935	0.897135	0.987871	0.854151
ВАРТІСТЬ	0.567670	0.946861	0.969113	0.923674

Бачимо, що 3 фактора пояснюють від 92 до 99% дисперсії даних (залежно від змінної, що є досить добрим результатом.