
- •Примеры
- •Многочлены Чебышева первого рода
- •Корни полинома Чебышева
- •Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля
- •Противоречие
- •Минимизация оценки остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа (выбор узлов интерполирования)
- •О сходимости интерполяционного процесса
- •При последовательность функций (кубический сплайн и первые две его производные) сходится, соответственно, к
- •Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционный полином Эрмита
- •Задача построения полинома сведена к задаче построения полинома , удовлетворяющего условиям
- •Результат: интерполяционный полином Лагранжа с заданными значениями в узлах .
- •Многомерная интерполяция
- •Это интерполяционный полином относительно , принимающий в точках значения .
- •Аппроксимация функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов
Тема №3
Многочлены Чебышева.
Оптимизация погрешности интерполяции.
Сходимость интерполяционного процесса.
Сплайн-интерполирование.
Построение кубического сплайна.
Интерполирование с кратными узлами. Многомерная интерполяция.
Аппроксимация функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов
Многочлены Чебышева
Первая последовательность,
,
многочлен Чебышёва первого рода
характеризуется как многочлен степени
n>1
со старшим коэффициентом 2n-1,
который меньше всего отклоняется от
нуля на интервале [-1,1].
Вторая последовательность,
,
многочлен Чебышёва второго рода
характеризуется как многочлен степени
n
со старшим коэффициентом 2n,
интеграл абсолютного значения которого
по интервалу [-1,1]
наименьший возможный.
Тригонометрическое определение многочлена Чебышёва:
Многочлены Чебышёва
первого рода
:
.
Многочлены Чебышёва
второго рода
:
Примеры
Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода:
Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода:
Многочлены Чебышева первого рода
Определение 1. Многочлен Чебышева – функция
, (3.1)
где
.
– многочлен при любом
.
Так как
и
,
Корни полинома Чебышева
Корни:
– n
корней на
отрезке [-1,1].
Точки экстремума на [-1,1]
Из (3.2):
точки экстремума:
Причем
Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля
.
Лемма.
Если
– произвольный
многочлен степени n
со старшим
коэффициентом единица,
то
.
(3.3)
Доказательство от противного
Разность
– многочлен степени (n
-1).
В точках экстремумов
полинома Чебышева
,
т.к. согласно предположению
при любом m.
Между
каждыми двумя точками
многочлен
меняет знак
Многочлен степени (n-1) имеет n различных корней
Противоречие
Многочлен
таков,
что его максимальное по модулю значение
на отрезке
[-1,1] не превосходит
максимального по модулю значения на
том же отрезке любого другого многочлена
степени n
со
старшим коэффициентом единица
Определение 2. Многочлен называется многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [-1,1].
Более сильное утверждение:
Замена
отрезок [-1,1] переводится в отрезок
.
,
(3.4)
Старший коэффициент – единица;
– многочлен, наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке
.
Корни многочлена (3.4) :
.
(3.5)
Е
– любой многочлен степени n
со старшим
коэффициентом единица, то
Минимизация оценки остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа (выбор узлов интерполирования)
Приближение
на
с узлами интерполяции
– интерполяционным полиномом Лагранжа.
Оценка погрешности интерполяционного полинома Лагранжа:
Здесь
– обозначение равномерной нормы
,
–точная верхняя граница
.
Оценка:
(3.6)
где
.
Как минимизировать выражение, стоящее справа в оценке (3.6)?
– многочлен степени
(n+1)
со старшим коэффициентом единица.
при произвольном выборе
узлов интерполяции.
Если узлы интерполирования
– корни полинома Чебышева
:
,
.
Оценка погрешности интерполяционного полинома Лагранжа:
.
Если в качестве узлов интерполяции взяты корни полинома Чебышева, то получаем наименьшую погрешность интерполяции на отрезке при фиксированном числе узлов интерполяции.
О сходимости интерполяционного процесса
Можно ли повысить точность интерполяции на отрезке?
Последовательность узлов интерполяции:
,
(3.8)
Интерполяционный
процесс для функции
:
последовательность
Определение 3
Определение
поточечной сходимости:
интерполяционный процесс для функции
сходится в точке
,
если существует
.
Определение 4.
Определение
равномерной сходимости:
интерполяционный процесс сходится
равномерно на
,
если
при
.
Фабер: для любой системы узлов вида (3.8) найдется такая непрерывная функция , что построенные для нее интерполяционные многочлены Лагранжа по этим узлам не сходятся равномерно на к .
Бернштейн:
последовательность
интерполяционных полиномов Лагранжа
,
построенных
для функции
на отрезке
по равноотстоящим
узлам (
не
стремится с возрастанием n
к
ни в одной точке
отрезка за исключением точек -1,
0, 1.
Марцинкевич: если непрерывна на , то найдется такая последовательность сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс сходится равномерно на . Однако строить такие сетки очень сложно, причем для каждой нужно строить свою последовательность сеток.
В общем случае нет равномерной сходимости интерполяционного процесса, не имеет смысла строить интерполяционные многочлены высокой степени, т.к. при этом накапливается вычислительная погрешность
Сплайн–интерполяция
Отрезок
с точками сетки
разбит на систему
подотрезков:
.
– значения функции в узлах сетки.
Определение 5.
Интерполяционным
сплайном степени m
для функции
,
построенным по системе подотрезков
на отрезке
,
называется функция
,
которая удовлетворяет следующим
условиям:
1) на каждом подотрезке
она является многочленом степени m
;
2) на всем отрезке она (m-1) раз непрерывно дифференцируема;
3) в узлах сетки она
принимает заданные значения:
.
Пример. Построение
кубического сплайна
.
Для подотрезка
:
(3.9)
где
–
коэффициенты, подлежащие определению.
Условия определения коэффициентов:
непрерывность функции , её первой и второй производных в узлах системы подотрезков ;
требований
.
1. Удовлетворение требованиям интерполяции и непрерывности в узлах сетки:
при
и
:
,
(3.10)
. (3.11)
2. Удовлетворение
требованиям непрерывности
и
:
(3.12)
.
(3.13)
Получили
уравнения на
неизвестных
коэффициентов
.
3. Краевые условия на
концах отрезка
зависят от решаемой задачи: например,
и
:
.
(3.14)
Система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Решим ее следующим образом.
Из (3.10) находим все
.
Из (3.13) и (3.14) выражаем
через
:
.
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Теорема 1.
Пусть
.
Тогда для
интерполяционного кубического сплайна
,
построенного
на сетке
, справедливы
неравенства
где
.