2. Задача об оптимальном плане выпуска продукции

Эта задача возникает при разработке планов выпуска продукции предприятия. Суть её в следующем.

Пусть для изготовления каждого из n видов продукции используется m видов ресурсов. Причем, затраты i -того вида ресурсов на единицу j –того вида продукции составляет a_ij.

Пусть прибыль от производства и реализации единицы j –того вида продукции составляет c_j денежных единиц_.

Запасы ресурсов ограничены и составляют соответственно b₁, b₂,…, b_m единиц .

Пусть А_1j и А_2j соответственно нижняя и верхняя граница допустимого объёма выпуска продукции j –того вида.

Необходимо установить такой план выпуска продукции, который при имеющихся ресурсах удовлетворял бы данным ограничениям на выпуск каждого вида продукции, и, в то же время, обеспечивал бы наибольшую суммарную прибыль предприятию.

Математическая модель задачи имеет вид: Слайд 10

max Z = c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

Пример1:

Для продажи двух видов товаров А и В торговое предприятие использует четыре вида ресурсов. Нормы затрат ресурсов на реализацию единицы товара А соответственно составляют 2, 1, 4, 0, а для товара В – 2, 2, 0, 4. Количество этих ресурсов на предприятии соответственно составляет 12, 8, 16, 12. Прибыль от реализации единицы товара А – 2 грн, товара В – 3 грн.

Найти оптимальный план реализации товаров, что обеспечивает максимальную прибыль. Слайд 11

Продукция Ресурсы	А	В	Количество ресурсов
Р1	2	2	12
Р2	1	2	8
Р3	4	0	16
Р4	0	4	12
Итог(Прибыль)	2 грн	3 грн

Решение: Слайд 12

Пусть x₁ – количество товара А, x₂ – количество товара В.

Z=2x₁+3x₂ – общая прибыл ь.

2x₁- количество ресурсов Р₁ в товаре А,

1x₁- количество ресурсов Р₂ в товаре А,

4x₁- количество ресурсов Р₃ в товаре А,

0x₁- количество ресурсов Р₄ в товаре А,

2x₂- количество ресурсов Р₁ в товаре В,

2x₂- количество ресурсов Р₂ в товаре В,

0x₂- количество ресурсов Р₃ в товаре В,

4x₂- количество ресурсов Р₄ в товаре В.

Математическая модель задачи:

max Z = 2x₁+3x₂

2x₁+2x₂ ≤ 12,

x₁+2x₂ ≤ 8,

4x₁+0x₂ ≤16,

0x₁+4x₂ ≤ 12,

x₁≥ 0, x₂≥ 0.

Решая данную задачу графическим методом, получаем:

Z_max= 14 грн;

план выпуска товара А – 4 единицы, товара В – 2 единицы ( прибыль – 14 грн).

2. Решение задач линейного программирования с помощью ms Excel

Пример 1

Целевая функция будет иметь вид: .

Задача сводится к нахождению двух неизвестных х₁ и х₂ системы четырех линейных неравенств, которые бы удовлетворяли целевой функции. другими словами необходимо найти такой план выпуска продукции, при котором прибыль (целевая функция) была бы максимальной.

Перед запуском процедуры поиска решения входные данные должны быть поданы в виде таблицы с установленными зависимостями между данными (в формульном режиме таблица представлена на рис. 5). Слайд 13

Рис.5

Ввходные данные записаны в диапазон В3:D7. В этих ячейках находятся коэффициенты при неизвестных х₁, х₂ системы линейных неравенств (строки 3-6 рабочего листа Excel) и целевой функции (строка 7), а также соответствующие свободные члены системы (в столбце С «Норма затрат времени»). В ячейках В9 и С9 будут находиться искомые решения неизвестных х₁, х₂ (в начальном варианте принимаем эти значения равными 0). Формула по которой вычисляется целевая функция, находится в ячейке Е7. В ячейках Е3:Е6 записаны формулы, по которым можно вычислить время которое затрачивается на изготовление изделий в каждом из цехов (взаимосвязь между коэффициентами на неизвестные системы).

После того как введены все входные данные и установлены взаимосвязи между элементами задачи, необходимо запустить процедуру Поиск решения. для этого активируйте команду Данные/Анализ/Поиск решения, после чего откроется соответствующее диалоговое окно, поля которого необходимо заполнить соответствующими данными. Слайд 14.

В поле Установить целевую ячейку введите адрес ячейки, значение которой будет использоваться как критерий оптимизации (в нашем случае – ячейка Е7, в которой находится формула для вычисления прибыли от реализации продукции. Значения в этой ячейке должно быть максимальным (для этого необходимо активировать соответствующий переключатель максимальному значению в области Равной:).

В поле Изменяя ячейки укажите, в каких ячейках программа должна изменять значения для получения оптимального решения (в нашем решении это ячейки В9:С9, в которых будет находиться решение задачи х₁ и х₂).

Замечание. При нажатии кнопки Предположить программа по умолчанию выделит диапазон ячеек, на которые есть ссылка в целевой ячейки.

Следующим этапом заполнения диалогового окна является задавание ограничений на решение. Для этого необходимо нажать кнопку Добавить области Ограничения диалогового окна. В результате этого откроется новое диалоговое окно.

В поле Ссылка на ячейку необходимо ввести адрес ячейки, на содержание которой накладывается определённое ограничение (в нашем случае – это линейная комбинация неизвестных и соответствующих коэффициентов, которые определяют затраты времени на изготовление обеих деталей для каждого из цехов). В поле Ограничения можно ввести либо конкретное ограничивающее число, либо адрес ячейки, где находится ограничение. Между этими полями необходимо выбрать необходимый оператор (<=, =, >=, цел., двоич.), который устанавливает отношения между ячейкой, на которую накладываются ограничения, и самим ограничением. После ввода каждого из ограничений необходимо нажимать кнопку Добавить.

После введения всех ограничений в поле Ограничения окна Поиск решения появятся строки с заданными ограничениями.

Если все параметры процедуры заданы, можно переходить к непосредственному решению задачи, которое начнётся после нажатия кнопки Выполнить.

После завершения вычислений появится окно, в котором программа информирует о завершении вычислений и предлагает Сохранить решение или вернуться к исходным данным. Вместе с появлением этого окна, в соответствующих ячейках рабочего листа появляются результаты вычислений: значения неизвестных (ячейки В9:С9), значения при этом решении функций, на которые накладывались условия и значения целевой функции при данном решении.

Если необходимо сохранить результаты работы процедуры в виде отчёта, то можно выбрать тип отчёта в соответствующем поле диалогового окна.

При выполнении процедуры Поиск решения пользователь может задать соответствующие параметры решения задачи, открыв диалоговое окно Параметры поиска решения с помощью кнопки Параметры диалогового окна Поиск решения.

Совокупность установленных параметров и ограничений можно сохранить вместе с рабочим листом в роли модели (кнопка Сохранить модель диалогового окна). Загрузить эту модель после можно будет с помощью кнопки Загрузить модель.

Ответ: х₁=4, х₂=2, z=14.