2. Основные этапы работ при решении задачи оптимизации.

1. Выбор модели – важнейший вопрос, требующий много времени. Если модель выбрана неудачно, то это потерянное время и разочарование в методах оптимизации. Основные требования, которым должна удовлетворять модель:

   • должно существовать, как минимум, два варианта значений параметров, удовлетворяющих ОГР и ГРУ, ведь если вариантов решения нет, значит, и выбирать не из чего;

   • надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим, иначе не помогут ни математические методы, ни ПК.

Выбор модели завершается ее содержательной постановкой.

2. Содержательная постановка. Должны быть четко сформулированы элементы математической модели:

   • исходные данные (детерминированные и случайные);

   • искомые переменные (непрерывные и дискретные);

   • пределы, в которых могут находиться значения искомых величин в оптимальном решении;

   • зависимости между переменными (линейные или нелинейные);

   • критерии, по которым следует находить оптимальное решение.

3. Составление математической модели.

4. Сбор исходных данных – необходимый этап работы при поиске оптимального решения. Решение задач большой размерности целесообразно начать с контрольного примера. Это потребует собрать на начальном этапе работы небольшое количество исходных данных для быстрой оценки правильности составленной модели. Никакая хорошая сходимость алгоритма, быстродействие и оперативная память ПК не заменят достоверности исходных данных (никакие комбайны не заменят качественных семян).

5. Решение задачи. Компьютер с помощью прикладных программ (программного обеспечения) реализует алгоритм поиска оптимального решения.

6. Анализ решения – важнейший инструмент принятия оптимальных решений.

7. Принятие оптимального решения – конечный этап работы. Решения принимает не компьютер, а человек, который и должен отвечать за результаты принятого решения.

8. Графическое представление результата решения и анализа – мощный фактор наглядности информации, необходимой для принятия решения.

2. Задачи линейного программирования.

Задача линейного программирования, которая является частным случаем задачи оптимизации записывается следующим образом: Слайд 6

(7.10)

Система 7.10

Дана система из m линейных неравенств с n неизвестными и линейная функция F. Требуется найти решение системы x₁, x₂, x₃…x_n, удовлетворяющей ГРУ, при котором функция F принимает max значение.

Примеры решения экономических задач лп и построение их математических моделей.

Приведём некоторые примеры математических задач экономического содержания.

Задача про смеси.

Задача определения оптимального состава смеси тогда, когда из данных видов сырья с заданными наперед свойствами. При этом стоимость такой должна быть минимальной.

Допустим, что смесь необходимо изготовить из n разных видов сырья, каждый из которых содержит m видов необходимых для смеси элементов.

Пусть a_ij – количество i-того элемента в единице j-того сырья, стоимость которого равна c_j.

Обозначим через b_i^΄ и b_i^˝ соответственно наименьшее и наибольшее количество i-того элемента в смеси. А через d_j – запас , который имеем на запланированный период сырья j-того вида.

Для составления модели обозначим через x_j – количество сырья i-того вида, которое мы запланировали использовать для изготовления смеси. Тогда стоимость смеси может быть вычислена по формуле: Слайд 7

А математическая модель будет иметь вид:

min :

Пример:

Было установлено, что для наилучшего откорма животных необходимо, чтобы они ежедневно потребляли витамины А, В, С в количествах не меньше чем, соответственно, 100, 50 и 200 единиц. Для откорма животных использовано два вида корма: Р₁ и Р₂. Содержание витаминов А, В и С в1 кг корма Р₁ соответственно составляет 2, 3 и 0 единиц, а в Р₂ – 1, 2, 3 единицы. Стоимость 1кг корма Р₁ составляет 50 коп., а корма Р₂ – 60 коп.

Необходимо составить такой рацион питания, чтобы животные получили необходимое количество витаминов, а стоимость этого корма была минимальной.

Решение.

Для удобства запишем данные в таблицу: Слайд 8

Корм Витамины	Р1	Р2	Количество
А	2	1	100
В	3	2	50
С	0	3	200
Стоимость 1 кг , грн	0,5	0,6

Обозначим через x₁ – количество корма Р₁, через x₂ – количество корма Р_2.. Тогда стоимость рациона составляет: Z=0,5x₁+0,6x₂.

Содержание витамина А в рационе будет составлять: 2x₁+1x₂ ;

витамина В в рационе будет составлять: 3x₁+2x_2;

витамина С в рационе будет составлять: 0x₁+3x_2.

Их содержание в рационе не должно быть меньшим, в указанном количестве. Таким образом получим математическую модель задачи: Слайд 9

min Z= 0,5x₁+0,6x₂

2x₁+1x₂ ≥ 100,

3x₁+2x₂ ≥ 50,

0x₁+3x₂ ≥ 200,

x₁≥0, x₂≥0.

Решая алгебраически получим Z=48,34грн.; X₁=16,67грн.; X₂=66,67грн.