3. Статика и динамика систем. Уравнения статики и динамики. Линеаризация уравнений. Линейные системы. Основные понятия об устойчивости.

Равновесные и неравновесные состояния систем. В промышленных условиях автоматические системы, а также их отдельные элементы, могут находиться в равновесных (статических) я неравновесных (динамических) состояниях. Равновесные состояния характеризуются постоянством во времени входных, промежуточных и выходных величин. При эксплуатации объектов химической технологии равновесные состояния систем нарушаются в результате действия различных возмущений, при этом входные, промежуточные и выходные величины систем изменяются во времени; такое их состояние называют неравновесным. При изучении автоматических систем основное внимание уделяют их поведению в этом режиме.

Исследование систем в равновесных и неравновесных состояниях проводят с помощью различных функциональных зависимостей, характеризующих поведение систем. При этом под входными и выходными величинами обычно понимаются относительные приращения, определяемые аналогично величинам, приведенным в табл. I.1.

Уравнения статики и динамики. Поведение системы в установившемся состоянии определяется уравнениями статики, или статическими характеристиками. Под статической характеристикой понимают зависимость между входной х_вх и выходной х_вых величинами системы в равновесном состоянии

х_вых =f(х_вх) (I,1)

Обычно уравнения статики являются алгебраическими.

Поведение системы в неравновесном состоянии или в переходном процессе описывается уравнениями динамики. В общем виде уравнение динамики или динамическая характеристика системы с входной х_вх и выходной х_вых величинами представляет собой зависимость типа

х_вых =f(х_вх,t) (I,2)

которая, как правило, представляет собой дифференциальное: уравнение. Прохождение сигнала по каналам системы характеризуется своими уравнениями статики и динамики.

Линеаризация уравнений. Поведение реальных систем обычно описывается нелинейными уравнениями. Решение таких уравнений довольно сложно, нахождение даже приближенного численного решения требует большого объема вычислений. Поэтому при инженерных методах анализа и расчета реальных систем применяют линеаризацию уравнений: нелинейные уравнения заменяют приближенными линейными, решать которые значительно проще.

Часто нелинейной бывает лишь статическая характеристика системы или ее элементов. Так, нелинейную характеристику имеет резервуар для газа, входной величиной которого является степень открытия вентиля на линии поступления газа, а выходной — давление газа в аппарате.

Непрерывно дифференцируемую нелинейную статическую характеристику можно линеаризовать, например, по методу малых отклонений. Для этого функцию разлагают в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей нормальному (заданному) режиму работы системы, в данном случае это точка А с координатами х_{вх 0} и х_{вых 0} (рис. I-3).

Отбрасывая члены ряда, содержащие бесконечно малые величины второго и более высоких порядков, получим

Эта зависимость представляет собой уравнение прямой линии, касательной к линеаризуемой функции при значении аргумента х_{вх 0}. Введя обозначения

получим

Некоторые простые функции (произведение, частное от деления переменных х, у и др.) можно линеаризовать, подставив в них вместо переменных х, у выражения типа (x₀+Δx), (y₀+Δy). Выполнив математические операции, предписываемые линеаризуемыми функциями, и исключив из полученных зависимостей слагаемые, содержащие приращения второго и более высоких порядков, получают искомую линеаризованную функцию. Например, линеаризация произведения двух переменных проводится следующим образом:

Принимая во внимание, что x₀y₀=z₀ найдем

Аналогичным образом линеаризуют и уравнения динамики.

Линейные системы в статике и динамике описываются линейными уравнениями. Такие системы подчиняются принципу суперпозиции, или независимости возмущений. Он заключается в том, что реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности, т. е. каждая входная величина системы создает свою составляющую выходной величины независимо от изменения других входных величин. Это позволяет рассматривать поведение системы отдельно по каждому каналу прохождения сигнала.

Уравнение статики линейной системы имеет вид

где k=const — коэффициент усиления, или коэффициент передачи системы.

Расчет линейных систем в статике состоит в определении общего коэффициента усиления по значениям k отдельных ее элементов или в нахождении других конструктивных либо технологических параметров отдельных элементов системы, необходимых для ее расчета.

Уравнение динамики линейной системы n-го порядка с одной входной и одной выходной величинами это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

где а₀, а₁,…, а_п-1, а_п; b₀,b₁,…, b_п-1, b_п; — постоянные коэффициенты, зависящие от параметров входящих в систему элементов; i — время.

В физически реализуемых системах порядок левой части этого уравнения выше или равен порядку правой части уравнения, т. е. п ≥ т. В левой части уравнения группируют слагаемые, содержащие выходную величину и ее производные, а в правой — слагаемые с входной величиной и ее производными. При нескольких входных величинах все слагаемые, содержащие входные величины и их производные, записывают в правую часть уравнения. При наличии нескольких выходных величин поведение системы в переходном режиме описывают системой уравнений динамики, число которых равно числу выходных величин.

Решение уравнения динамики (I,6) представляет собой зависимость изменения выходной величины системы во времени при известном входном воздействии. По полученному решению определяют качество переходного процесса.

Уравнение динамики (I,6) при х_вх = 0 имеет вид:

Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его называют уравнением свободного движения системы.

Из уравнения динамики (I, 6) можно получить уравнение статики системы, приравняв в нем все производные нулю. Оно имеет вид уравнения (I,5), если k — b_m/a_m.

Обычно, входные и выходные величины в уравнениях статики и динамики записывают в относительном виде. При этом постоянные коэффициенты уравнения динамики или безразмерны, или имеют размерность времени в степени, равной порядку производной соответствующего слагаемого.

Для упрощения записи уравнения динамики операцию дифференцирования обозначают символом р (здесь р — алгебраическая величина):

Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p:

Таким образом

Используя эти соотношения, получим следующую запись уравнения динамики системы (I, 6):

Заменяя полином в левой части уравнения (1,8) через D(p) а в правой части через К(р), окончательно получим

где D(p) —полином, характеризующий свободные колебания системы; К(р) —полином, характеризующий внешнее возмущение.

Устойчивость. Под устойчивостью понимают свойство системы самостоятельно возвращаться к равновесному состоянию после устранения возмущения, нарушившего ее равновесие. Это означает, что свободная составляющая переходного процесса с течением времени должна стремиться к нулю, т. е.

Устойчивость является важным показателем работы системы. Не удовлетворяющие условию (I,11) системы неустойчивы. Работоспособными являются только устойчивые системы; для определения устойчивости исследуется уравнение (1,7).

П ри апериодическом или колебательном сходящемся переходном процессе в системе (см. рис. 1-4, а, б) она устойчива, при апериодическом или колебательном расходящемся (рис. 1-4, г, д) — неустойчива. Гармонический колебательный процесс условно рассматривают как устойчивый при небольшой амплитуде колебаний, допустимой по условиям технологического процесса. При амплитуде же колебаний, превышающей допустимые отклонения, систему считают неустойчивой.