Решение уравнения (8) ищется в виде

, (9)

где и – произвольные функции, подлежащие определению.

Тогда имеем

,

,

.

Функцию выберем из условия . Отсюда ,

После такого выбора уравнение принимает вид

или

Интегрируя это уравнение, находим

.

Подставляя в (9), получим общее решение линейного

уравнения.

Пример. Решить уравнение .

6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия. Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные выше второго порядка являются дифференциальными уравнениями высших порядков.

Определение 7. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

.

Если уравнение удается разрешить относительно второй производной, то получим уравнение в нормальной форме, разрешенное относительно старшей производной:

. (10)

Определение 8. Всякая функция , определённая и дважды дифференцируемая на интервале (a, b), называется решением уравнения (10), если она обращает его в тождество.

Задача Коши для дифференциального уравнения (10) ставится так: найти такое решение уравнения, чтобы оно само и его производная при заданном значении аргумента x=x₀ принимали бы заданные значения, т.е. чтобы это решение удовлетворяло условиям:

, (11)

где – заданные числа, которые называются начальными условиями.

Общее решение уравнения (10) зависит от 2-х произвольных постоянных чисел и имеет вид

.

Теорема (Коши о единственности решения). Пусть функция и её частные производные по переменным непрерывны D пространства переменных .Тогда для любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям (11).

Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейным однородным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (12)

где p,q –известные действительные числа.

Однородные уравнения обладают следующими свойствами:

• Если y₁(x), y₂(x) два различных решения уравнения (12), то y(x)=y₁(x)+y₂(x) также является решением этого уравнения.

• Если y₁(x) является решением уравнения (12), то y=cy(x) при любом значении постоянной c является решением этого уравнения.

• Частное решение уравнения (12) можно имеет вид

.

Если подставить его (12), то сокращая на , получим уравнение относительно k:

. (13)

Уравнение (13) называется характеристическим уравнением для уравнения (12). Справедлива следующая теорема о решении однородного уравнения.

Теорема. Пусть корни характеристического уравнения (13).

Тогда:

если корни действительные и , то общее решение уравнения (12)

имеет вид

;

если корни действительные и , то общее решение уравнения (12) имеет вид

;

если комплексные, т.е. , то общее решение уравнения (12) имеет вид

Во всех случаях С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. 1) Найти решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Корни этого уравнения , т.е. . Этим корням соответствуют частные решения . Общее решение будет .

2) Решить уравнение .

Решение. Характеристическим уравнением для данного уравнения является уравнение , корни которого . Следовательно, , и, общее решение .

3) Решить задачу Коши

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k=3, поэтому Следовательно, – общее решение уравнения. Найдем решение задачи Коши.

Так как , то для определения c₁ и из начальных условий получаем: Таким образом, , и, – решение задачи Коши.

4) Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, . Общее решение .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение вида

(14)

где – заданная функция, называется линейным неоднородным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если y_ч(x) какое-либо частное решение уравнения (14), а общее решение соответствующее уравнению однородного уравнения, то общее решение уравнения (14) записывается в виде .

В зависимости от вида правой части уравнения (14) его частное решение y_ч(x) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов используется в случаях, когда функция f(x) в правой части имеет вид

(15)

или

, (16)

где – многочлены степени n и m соответственно.

Если в правой части уравнения стоит f₁(x), то частное решение ищется в виде

. (17)

Число s=0, если α– не является корнем характеристического уравнения (13). Если s– корень характеристического уравнения (13), то s=1. Чтобы найти неизвестные коэффициенты в (17) надо подставить в уравнение (14) и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства.

Если в правой части уравнения стоит f₂(x), то частное решение ищется в виде

, (18)

где R_k(x), T_k(x) – многочлены степени k = max(m,n), причем s=0, если не является корнем характеристического уравнения, и s=1 в противном случае. Чтобы найти коэффициенты многочленов R_k(x), T_k(x) надо подставить решение (18) в уравнение (14) и приравнять коэффициенты при подобных членах.

Если правая часть уравнения есть сумма нескольких функций вида f₁(x) или f₂(x), то частное решение отыскивается по следующему правилу: частное решение линейного уравнения с правой частью равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями .

Пример. Найти общее решение уравнения

. (19)

Решение. Составляем характеристическое уравнение , корни которого . Этим корням соответствует фундаментальная система решений и общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть уравнения (19) относится к виду (15), поэтому частное решение ищем в виде . Подставляя это решение в уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего тождества, получаем систему алгебраических уравнений для определения A, B, C:

откуда A= 9/2, B=-9/2, C=63/4.

Общим решением уравнения является функция

.

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому, общим решением соответствующего однородного дифференциального уравнения является функция . Правая часть исходного уравнения представляется в виде суммы двух функций . Следовательно, частное решение уравнения можно найти как сумму частных решений уравнений:

и .

Найдем частное решение первого уравнения, а затем – второго:

1) . Так как не является корнем характеристического уравнения, то . Тогда ; , откуда . Таким образом, ;

2) . Правая часть этого уравнения относится к типу (2.15) при – многочлен 1-й степени. Так как не является корнем характеристического уравнения, то решение ищем в виде . Находим: . Подставим в данное уравнение. Имеем или . Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях последнего тождества, получим Отсюда . Следовательно, . Общее решение исходного уравнения следующее: