5.3. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение. Внутренняя точка называется точкой строгого локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , что и , выполняется неравенство .

Если , то точка нестрогого локального максимума.

Если , то точка строгого локального минимума.

Если , то точка нестрогого локального минимума.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный (нестрогий) экстремум, то выполняются условия

, .

Замечание. Условия теоремы является необходимыми, но не достаточными. Например, функция дифференцируемая в точке :

, , ,

но экстремума в точке нет, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения (см. рис.). Если все частные производные в точке равны нулю, то такая точка называется стационарной точкой функции .

Теорема (достаточный признак экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки , тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если ,

то – точка минимума функции .

2. Если ,

то – точка максимума функции .

3. Если , то в точке экстремума нет.

Пример. Для функции найти точки экстремума или показать, что их нет.

Решение. Определим стационарные точки:

,

.

Решая систему, получаем две точки М₁ и М₂ .

Для точки М₁ , получаем

,

.

Следовательно, в точке М₁ экстремума нет.

Для точки м2 получаем

,

.

Следовательно, в точке М₂ локальный минимум.

2. Найти точки локального экстремума функции .

Решение. Вычисляем частные производные функции и приравниваем их нулю:

.

Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума (стационарные точки): и .

Вычисляем частные производные второго порядка данной функции: , .

В точке =0. Поэтому точка требует дополнительного исследования. В точке : , тогда . Так как , то в точке функция имеет локальный максимум.

5.4. Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения функций.

1. 2. 3. z= 4.

6. z=ln(x+y) 7. z= 8.

Построить линии уровня функций.

9. z=xy 10. z=x+y. 11. 12. z=x/y 13.

Найти частные производные следующих функций:

14. 15.

16. 17.

18. 19.

20. 21.

22. 23.

24. 25.

26. 27.

28. 29.

30. 31.

32. 33. u=

34. 35.

36. 37.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

38.

39.

40. +

41.

Наqтb частные производные второго порядка следующих функций:

42. 43.

44. 45.

46. 47.

48. 49.

Найти точки локального экстремума следующих функций двух переменных:

50. 51.

52. 53.

54. 55.

57. 58.