
Глава 5. Функции нескольких переменных
5.1. Пространство и функции нескольких переменных
Как
и в главе 1, здесь под
будем понимать множество, элементами
которого являются всевозможные
упорядоченные наборы из n
действительных чисел
,
т.е. n-мерное
линейное пространство.
В частности,
– числовая прямая,
– координатная плоскость
,
-
трехмерное геометрическое пространство
.
В линейном евклидовом пространстве
определены линейные операции над
элементами пространства, скалярное
произведение элементов
и
,
норма (длина)
элемента
,
угол и расстояние
между элементами
и
.
Пусть
точка
и
.
Множество всех точек
для которых выполняются неравенства
,
называется
n-мерным
кубом с
ребром
и с центром в точке
.
Например, двумерный куб это квадрат со
стороной
с центром в точке
.
Множество
точек
,
которые удовлетворяют неравенству
называются
n-мерным
шаром радиуса
с центром в точке
.
Заметим, что n-мерный
шар называют также
-окрестностью
точки
в
.
Это записывается так:
.
Таким
образом, одномерный шар
есть интервал длиной
.
Двумерный шар есть круг, для которого
верно
или
Множество
называется ограниченным,
если существует
n-мерный
шар, содержащий это множество.
Точка
множества
называется внутренней
точкой этого множества, если существует
-окрестность
содержащаяся в X:
.
Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой, называется открытым множеством в . Понятно, что пространство является открытым множеством.
Точка
называется граничной
точкой
множества Х,
если любая ее окрестность содержит
точку, принадлежащую множеству Х
и точку не
принадлежащую множеству Х.
Все граничные точки множества Х
называют границей
Х
и обозначают
.
Определение.
Пусть
множество в
,
и каждой точке
поставлено
в соответствие единственное число
.
В этом случае говорят, что на множестве
Х
определена числовая
функция n
переменных
(или функция
нескольких переменных).
Правило, по которому
устанавливается соответствие, обозначают
некоторой буквой, например
и пишут
или
,
.
Другими словами функция
n переменных есть
отображение множества
на множество
:
,
где
.
Множество Х является областью
определения функции
,
а
называют аргументом или
независимой переменной.
Функция
называется элементарной, если она
может быть задана с помощью конечного
числа арифметической операции и
суперпозиций элементарных функций
одной переменной.
Графиком функции
называют множество точек
связанных соотношением
.
Функция
является линейной функцией n
переменных и называется гиперплоскостью.
Область её определения все точки,
принадлежащие
.
Рассмотрим примеры функций двух и трех
переменных.
1. Функция z=ax+by+c
определяет в
плоскость (система координат Oxyz)
, причем в общем виде уравнение плоскости
имеет вид
Ax +By +Cz +D=0.
Вектор N(A,B,C) называется нормальным вектором этой плоскости (он перпендикулярен плоскости).
2. Функция
геометрически
представляет собой поверхность в
,
которая называется параболоидом. В
вертикальных сечениях координатными
плоскостями Oxz и
Oyz получаются
соответственно параболы
и
.
При a=b
поверхность называется параболоидом
вращения.
3. Функция
геометрически представляет собой
поверхность в
,
которая называется эллиптическим
конусом. В сечениях этой поверхности
плоскостями, параллельными плоскости
Oxy,получаются
эллипсы. Если a=b,
то конус называется круговым.
Определение. Линией уровня функции двух переменных u=f(x,y) называется плоская кривая, которая получается при пересечении поверхности, задаваемой этой функцией и плоскостью, параллельной координатной плоскости Оxy, т.е. уравнение линии уровня имеет вид f(x,y)=C.
Понятие линии уровня широко используется в геодезии, картографии, при описании различных физических полей (температура, давление и т.п.). На плоскости Оxy линии уровня представляю собой семейство непересекающихся кривых, с помощью которых удобно анализировать сложный характер поверхности, описываемой функцией u=f(x,y).
Пример. Найти линии уровня функции u=x2 +y2 -2x=2y.
Решение. По определению линии уровня имеем x2 +y2 -2x-2y=С.
или
(x-1)2+(y-1)2=C+2.
Это уравнение описывает семейство
окружностей с центром в точке (1,1)
радиусами r=
Определение. Поверхностью уровня функции трех переменных u=f(x,y,z) называется поверхность, на которой эта функция имеет постоянное значение, т.е.
f(x,y,z)=С.
Пример. Найти поверхности уровня функции u= x2 -2x+y2 +2y-z.
Решение. Согласно определению поверхности уровня, имеем
x2 -2x+y2 +2y-z=С, откуда z=(x-1)2 +(y+1)2 –C. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью x=1, y=-1, параллельной оси Oz , вершины которых лежат в точках с координатами (1,-1,С).