
- •Содержание.
- •Глава I. Обзор предметной области…………………………………………..
- •Глава II. Методические указания для выполнения лабораторных
- •Введение
- •1.1 Кодирование сообщений переданных дискретным источником
- •1.2 Кодирование информации для передачи по каналу с шумом
- •1.3 Кодирование с заданным критерием качества
- •1.5 Секретная связь с системой защиты информации от несанкционированного доступа
- •Глава 2. Практическая часть. Лабораторная работа №1
- •Теоритические сведения
- •Взаимная информация
- •Лабораторная работа №2
- •Теоритические сведения Энтропия
- •Условная энтропия
- •Избыточность
- •Лабораторная работа №6
- •Теоритические сведения
- •Алгоритмы генерации псевдослучайных последовательностей
- •Лабораторная работа №7
- •Теоритические сведения
- •Лабораторная работа №8
- •Теоритические сведения
- •Cодержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать:
Лабораторная работа №8
Тема:«Вычисления в поле Галуа»
Цель работы:
1.Ознакомление со структурой и принципомвычисления.
2.Процесс вычисления.
3. Составление отчета по лабораторной работе
Теоритические сведения
Напомним некоторые определения из алгебраических основ:
Поле
– это множество
элементов, на котором определены операции
сложения и умножения, обладающие
свойствами коммуникативности,
ассоциативности и дистрибутивности,
при этом относительно этих двух операций
существуют нейтральные элементы и
существует обратный элемент относительно
операции сложения,
существует обратный элемент относительно
операции умножения.
Пусть
– неприводимый многочлен над полем
,
для него существует конечное расширение
поля
,
содержащее все корни многочлена
– поле
разложения.
Группа
– это непустое множество
с алгебраической операцией * на нем, для
которой выполняются аксиомы:
Операция * ассоциативна
:
.
В
единичный элемент такой, что
:
.
:
.
Если дополнительно группа удовлетворяет аксиоме:
:
.
То это абелева (коммуникативная) группа.
Кольцом
называется множество
с двумя бинарными операциями (
)
такими, что:
– абелева группа относительно операции
.
Операция умножения ассоциативна:
:
;
Выполняется закон дистрибутивности :
.
Кольцо
классов вычетов
называется полем
Галуа
порядка
и обозначается
(где
– простое). В поле Галуа определены
операции
.
Теорема 1.
Поле
Галуа
есть поле разложения всякого неприводимого
многочлена
степени
над полем
.
Арифметика поля Галуа широко используется в криптографии. Данное поле содержит только числа конечного размера, при делении отсутствуют ошибки округления. Многие криптосистемы основаны на , где – большое простое число.
Криптографы
также используют арифметику по модулю
неприводимых многочленов степени
,
коэффициентами которых являются целые
числа по модулю
,
где
– простое число. Эти поля называются
.
Пример (байтовые операции)
Рассмотрим
поле Галуа
.
Оно может интерпретироваться как работа
с битами одного байта, который будет
рассматриваться как элемент этого
конечного поля с бинарными операциями:
.
Сложение: – это поразрядное суммирование по модулю 2.
Умножение
– это умножение полиномов, соответствующих
байтам, но по модулю неприводимого
двоичного полинома
(
).
Элемент этого поля может быть представлен в полиномиальном виде:
,
где
–
-ый
бит байта
.
Например:
,
тогда
.
Сложение:
.
Умножение:
умножение на
эквивалентно побитовому сдвигу влево
на один бит. Операция умножения
обозначается
.
Умножение на
эквивалентно побитовому сдвигу влево
на
бит и равносильна
-кратной
композиции
.
.
Умножаем
на
,
то есть сдвигаем на
бит, получаем:
.
Умножаем
на
,
то есть сдвигаем на
бит, получаем:
.
Чтобы
умножить
на
надо произвести умножение на
,
и результат сложить. Поэтому:
Умножаем
на
:
,
приводим по
и получаем :
.
Умножаем
на
:
.
Умножаем
на
:
,
приводим по
и получаем :
.
В итоге получаем
:
Пример (операции с 4-байтовыми векторами)
Любой
многочлен принадлежащий
степени не больше
может быть представлен
-х
байтовым вектором.
Сложение -х байтовых векторов производится побитово.
Умножение:
с последующим приведением по модулю
полинома
.
Пусть
дано два многочлена:
,
.
Их произведение равно
,
где:
Далее
делим
на
и окончательно получаем, что если
,
то:
.
Примерами алгоритмов шифрования, основанных на вычисление в поле Галуа являетсяRIJNDAEL (AES), A5/1.