Лабораторная работа №8

Тема:«Вычисления в поле Галуа»

Цель работы:

1.Ознакомление со структурой и принципомвычисления.

2.Процесс вычисления.

3. Составление отчета по лабораторной работе

Теоритические сведения

Напомним некоторые определения из алгебраических основ:

Поле – это множество элементов, на котором определены операции сложения и умножения, обладающие свойствами коммуникативности, ассоциативности и дистрибутивности, при этом относительно этих двух операций существуют нейтральные элементы и существует обратный элемент относительно операции сложения, существует обратный элемент относительно операции умножения.

Пусть – неприводимый многочлен над полем , для него существует конечное расширение поля , содержащее все корни многочлена – поле разложения.

Группа – это непустое множество с алгебраической операцией * на нем, для которой выполняются аксиомы:

1. Операция * ассоциативна : .

2. В единичный элемент такой, что : .

3. : .

Если дополнительно группа удовлетворяет аксиоме:

4. : .

То это абелева (коммуникативная) группа.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями ( ) такими, что:

1. – абелева группа относительно операции .

2. Операция умножения ассоциативна: : ;

3. Выполняется закон дистрибутивности : .

Кольцо классов вычетов называется полем Галуа порядка и обозначается (где – простое). В поле Галуа определены операции .

Теорема 1.

Поле Галуа есть поле разложения всякого неприводимого многочлена степени над полем .

Арифметика поля Галуа широко используется в криптографии. Данное поле содержит только числа конечного размера, при делении отсутствуют ошибки округления. Многие криптосистемы основаны на , где – большое простое число.

Криптографы также используют арифметику по модулю неприводимых многочленов степени , коэффициентами которых являются целые числа по модулю , где – простое число. Эти поля называются .

Пример (байтовые операции)

Рассмотрим поле Галуа . Оно может интерпретироваться как работа с битами одного байта, который будет рассматриваться как элемент этого конечного поля с бинарными операциями: .

Сложение: – это поразрядное суммирование по модулю 2.

Умножение – это умножение полиномов, соответствующих байтам, но по модулю неприводимого двоичного полинома ( ).

Элемент этого поля может быть представлен в полиномиальном виде:

, где – -ый бит байта .

Например: , тогда .

Сложение: .

Умножение: умножение на эквивалентно побитовому сдвигу влево на один бит. Операция умножения обозначается . Умножение на эквивалентно побитовому сдвигу влево на бит и равносильна -кратной композиции .

.

Умножаем на , то есть сдвигаем на бит, получаем: .

Умножаем на , то есть сдвигаем на бит, получаем: .

Чтобы умножить на надо произвести умножение на , и результат сложить. Поэтому:

Умножаем на : , приводим по и получаем : .

Умножаем на : .

Умножаем на : , приводим по и получаем : .

В итоге получаем

:

Пример (операции с 4-байтовыми векторами)

Любой многочлен принадлежащий степени не больше может быть представлен -х байтовым вектором.

Сложение -х байтовых векторов производится побитово.

Умножение: с последующим приведением по модулю полинома .

Пусть дано два многочлена: , . Их произведение равно , где:

Далее делим на и окончательно получаем, что если , то:

.

Примерами алгоритмов шифрования, основанных на вычисление в поле Галуа являетсяRIJNDAEL (AES), A5/1.