Домашнее задание

Уголь, добываемый в нескольких месторождениях, отправляется потребителям: заводам, электростанциям и т.п. Известно, сколько угля добывается в каждом из месторождений за месяц и сколько его требуется на тот же срок каждому из потребителей; расстояния между месторождениями и потребителями, а также условия сообщения между ними. Требуется при этих условиях спланировать перевозки угля таким образом, чтобы затраты были минимальными.

Имеются два месторождения М₁, М₂ и три потребителя П₁, П₂, П₃. Количество угля, добываемого за месяц, в М₁ и М₂ равно соответственно а₁ и а₂. Запросы потребителей П₁, П₂ и П₃ за тот же период времени равны b₁, b₂ и b₃ соответственно. Суммарные запасы равны суммарным потребностям: . Заданы числа c_ij (i = 1, 2; j = 1, 2, 3), представляющие собой стоимость перевозки тонны угля из M_i в П_j. Необходимо так спланировать перевозку угля от каждого месторождения к каждому потребителю, чтобы затраты на её осуществление были минимальными.

Указания к решению

Данная задача относится к классу транспортных задач линейного программирования. Еще эти задачи называют двухиндексными, т.к. переменные x в данной задаче обозначаются с двумя индексами – i и j.

Транспортная задача – это задача, в которой работы или ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся у производителей, по предприятиям-потребителям.

Стандартная транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Пусть числа x₁₁, x₁₂, x₁₃, x₂₁, x₂₂, x₂₃ определяют количество перевозимого угля, т.е. x_ij – количество угля, предназначенное к отправке из M_i в П_j. Для решения задачи составим следующую таблицу:

Потреби­- тели Место­рождения	П1	П2	П3	Всего отправлено
М1	x11	x12	x13	a1
М2	x21	x22	x23	a2
Всего доставлено	b1	b2	b3

Общее количество угля, вывезенное из М₁, должно равняться а₁.

Отсюда имеем условие

.

Аналогичное условие должно выполняться для М₂:

.

Общее количество угля, доставленное в П₁, должно равняться b₁. Отсюда:

.

Аналогично получаем еще два условия:

; .

Предполагаем, что затраты на перевозку прямо пропорциональны количеству перевозимого угля, т.е. перевозка из M_i в П_j стоит . Тогда общие затраты по всем перевозкам будут

.

Таким образом, приходим к следующей задаче. Дана система

пяти линейных уравнений с шестью неизвестными и линейная функция Z. Требуется среди неотрицательных решений x₁₁, x₁₂, x₁₃, x₂₁, x₂₂, x₂₃ системы выбрать такое, при котором функция Z достигает наименьшего значения.

14