
- •Элементы высшей математики
- •230115 Программирование в компьютерных системах
- •230401 Информационные системы (по отраслям)
- •Часть 2
- •Пояснительная записка
- •Общие требования к оформлению и выполнению практических работ
- •Критерии оценки практических работ
- •Практическая работа №8 Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей
- •Теоретический материал
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №9 Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
- •Теоретический материал
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №10 Тема: Вычисление производных функций по определению производной
- •Теоретический материал
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №12 Тема: Вычисление производных и дифференциалов высших порядков
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №13 Тема: Полное исследование функции. Построение графиков
- •Теоретический материал
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №14 Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №15 Тема: Вычисление определенных интегралов
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №16 Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №17
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для практической работы
- •Практическая работа №18
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для практической работы
- •Список литературы
- •230115 Программирование в компьютерных системах
- •230401 Информационные системы (по отраслям) Винокурова Анна Александровна элементы высшей математики
- •625000, Тюмень, ул. Володарского, 38.
- •6 25039, Тюмень, ул. Киевская, 52
Задания для практической работы
Вычислите пределы:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
; 12)
;
13)
; 14)
; 15)
.
Вопросы для самоконтроля:
Что называется пределом функции?
Каким образом определяется число
?
Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.
Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.
Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
Практическая работа №9 Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
Цель: Формирование навыков вычисления односторонних пределов, классификации точек разрыва
Время выполнения: 2 часа.
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если бесконечно малому приращению
аргумента в этой точке соответствует
бесконечно малое приращение функции,
то есть
.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если существует конечный предел функции
в этой точке, который равен значению
функции в точке
,
то есть
.
Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функции определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва
функции делятся два типа. К точкам
разрыва I
рода относятся
такие точки, в которых существуют
конечные односторонние пределы:
(левый предел) и
(правый предел). К точкам
разрыва II
рода относятся
те точки, в которых хотя бы один из
односторонних пределов не существует
или бесконечен.
Заметим, что точки
разрыва I
рода подразделяются в свою очередь на
точки
устранимого разрыва
(когда
)
и на точки
скачка
функции (когда
);
в последнем случае разность
называется скачком функции
в точке
.
Пример
Задание
1: Вычислите
односторонние пределы: 1)
;
2)
.
Решение: 1)
Пусть
.
Тогда при
функция
,
а, следовательно, и
есть отрицательная бесконечно малая,
поэтому функция
- отрицательная бесконечно большая, то
есть
.
При
функция
,
а, следовательно, и
- положительная бесконечно большая
функция, то есть
.
2) Пусть
.
Тогда при
имеем:
- отрицательная бесконечно малая функция;
следовательно,
и
.
Отсюда
.
Если
,
то при
получим:
- положительная бесконечно малая функция;
следовательно,
и
,
тогда
.
Имеем,
.
Задание 2: Даны
функции: 1)
; 2)
.
Найти точки разрыва и исследовать их
характер.
Решение: 1)
Функция
определена при всех значениях
,
кроме
.
Так как эта функция является элементарной,
то она непрерывна в каждой точке своей
области определения, состоящей из двух
промежутков
и
.
Следовательно,
единственной точкой разрыва является
точка
(функция определена в окрестности этой
точки, в самой же точке нарушается
условие непрерывности – функция в ней
неопределена). Для исследования характера
разрыва найдем левый и правый пределы
этой функции при стремлении аргумента
к точке разрыва
:
,
.
Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв; есть точка II рода.
2) Рассуждая
аналогично, получим, что точкой разрыва
заданной функции является
.
Найдем односторонние пределы этой
функции в точке
:
,
.
Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому точка I рода, причем точка скачка функции.