На основании этого можно сделать два вывода:

1. Если итерационный процесс сходится для любой начальной точки из отрезка, то он сходится на всем отрезке.

2. Если итерационный процесс расходится хотя бы для одной начальной точки из отрезка, то он расходится на всем отрезке.

Достаточное условие, при котором итерационный процесс (2.5) сходится, определяет следующая теорема.

Теорема 2.4.

Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие

, при , (2.6)

тогда процесс итераций, определяемый формулой (2.5), сходится независимо от выбора начального приближения и предельное значение является единственным корнем уравнения (2.4) на отрезке .

Доказательство.

Рассмотрим два последовательных приближения и . По условию теоремы принадлежат отрезку . Применяя теорему Лагранжа, получим:

,

где точка лежит между и . В силу условия (2.6)

. (2.7)

Придавая значения , получим

,

,

……………………………….

. (2.8)

Рассмотрим ряд

, (2.9)

для частичных сумм которого выполняется соотношение . Если докажем, что ряд (2.9) сходится, то тем самым будет доказана сходимость последовательности .

Сравним два ряда:

, (2.10)

. (2.11)

В силу соотношений (2.8) члены ряда (2.10) не превышают соответствующих членов ряда (2.11), которые являются членами геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, ряд (2.10) сходится, а ряд (2.9) сходится абсолютно. Таким образом существует

,

причем .

Переходя к пределу в равенстве (2.5), в силу непрерывности функции , получим

.

Следовательно, - корень уравнения (2.4).

Докажем, что этот корень единственный. Предположим, что на отрезке существует еще один корень уравнения (2.4) . Тогда в силу теоремы Лагранжа

,

где находится между и . Отсюда . Но , поэтому выражение в квадратных скобках не равно нулю. Следовательно, , т.е. - единственный корень уравнения (2.4).

Точка при этом называется неподвижной точкой для уравнения (2.4).

Приведение нелинейного уравнения к виду , допускающему сходящиеся итерации.

Выполнения достаточного условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения к эквивалентному виду следующим образом: умножим обе части уравнения (2.1) на неизвестную постоянную , , затем прибавим к обеим частям переменную , тогда получим . Обозначим через , тогда . Константа выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса (2.6), т.е. для всех . Это условие равносильно условию , отсюда:

1) при ;

2) при .

Оценка приближения.

Из формулы (2.8) имеем:

.

Устремляя к бесконечности и учитывая, что , окончательно получим:

. (2.12)

Отсюда видно, что чем меньше , тем больше скорость сходимости итерационного процесса (2.5).

Для оценки приближения можно использовать и другую формулу.

Пусть . Очевидно, что . Учитывая, что , получим:

,

где находится между и . Следовательно, , т.е.

.

Используя формулу (2.7), получим:

. (2.13)

Если , то . В этом случае из неравенства вытекает неравенство , где - заданная точность.