§2.2. Метод половинного деления.

Для уточнения корня нелинейного уравнения (2.1) на отрезке , где , а производная сохраняет знак, разделим отрезок пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков и выбираем тот, на котором функция меняет знак. Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т.д. Получим последовательность отрезков , на концах которых выполняется неравенство

(2.2)

и длины этих отрезков равны

. (2.3)

Последовательность является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью; а - монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Следовательно, эти последовательности сходятся. Перейдем к пределу при в левой и правой частях соотношения (2.3), получим

.

Тогда . С другой стороны, из (2.2) следует, что . Последнее неравенство возможно только тогда, когда . Следовательно, является корнем исходного уравнения (2.1).

§2.3. Метод простых итераций.

Пусть известно, что нелинейное уравнение , где - непрерывная функция, имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью . Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение (2.1) к виду

(2.4)

Выберем произвольно приближенное значение корня (начальное приближение) и вычислим первое приближение . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2.4) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является приближенным значением корня уравнения (2.4). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве (2.4) и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или . Следовательно, предел последовательности является корнем уравнения (2.4).

Таким образом, корень можно вычислить с заданной точностью по следующей итерационной формуле

(2.5)

Геометрическая интерпретация метода простых итераций.

Геометрически способ итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости графики функций и . Действительный корень уравнения (2.4) является абсциссой точки пер есечения кривой с прямой (Рис.2.5).

Начиная процесс с некоторой точки , строим ломаную линию («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси и оси , вершины лежат на кривой , а вершины - на прямой .Общие абсциссы точек и , и , …, представляют собой соответственно последовательные приближения корня . В рассмотренном случае кривая пологая, и .

В озможен другой вид ломаной («спираль») (Рис.2.6). В этом случае последовательные приближения стремятся к корню то с одной, то с другой стороны. В этом случае , но .

Однако, если рассмотреть случай, где (Рис.2.7), то процесс итераций расходится, т.е. последовательные приближения все дальше удаляются от корня и в какой то момент могут выйти за пределы отрезка .

П оэтому для практического применения метода простых итераций нужно проверить достаточные условия сходимости итерационного процесса.