4. Гистограмма. Распределение вероятностей

Р езультаты отдельных измерений х_i (i=1, ..., n) некоторой физической величины Х можно представить, построив диаграмму, которая показывает, как часто получаются те или иные значения в серии отсчетов. Такую диаграмму называют гистограммой частот или просто гистограммой.

Гистограмму строят ее следующим образом. Пусть все значения выборки заключены между минимальным x_min и максимальным x_max значениями. Разобьем промежуток [x_min, x_max] оси x на некоторое число m одинаковых интервалов шириной d и посчитаем количество отсчетов попадающих в каждый такой интервал. Пусть n_j - число отсчетов, значения которых попадают в j-й интервал (j=1, ..., m). Число n_j называется частотой. Определим долю, которую составляют эти n_j отсчетов от общего числа отсчетов. Для этого, очевидно, следует определить отношение n_j/n, которое называется относительной частотой. Разделим это отношение на ширину интервала d_x и получим величину, которая обозначается как f_j и называется плотностью относительной частоты: f_j=n_j/nx

Построим на каждом интервале шириной x прямоугольник с высотой, равной f_j=n_j/nx. Получится диаграмма, которую называют гистограммой частот или просто гистограммой.

Определение. Гистограммой плотностей относительных частот f_j называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы шириной d, а высоты равны отношению n_j/nx.

Пусть число отсчетов n стремится к бесконечности. Тогда

Результаты измерения всегда выражаются в виде дискретного ряда значений, что связано с дискретностью шкалы измерительного прибора. Однако в теории удобно считать измеряемую величину непрерывной, что значительно упрощает все расчеты. Кроме того в теории удобнее считать, что измеряемая величина распределена на всей оси, хотя иногда это условие противоречит физическому смыслу, например, масса не может быть отрицательной.

Учитывая сказанное устремим ширину интервалов x к нулю. Одновременно устремим число отсчетов n стремится к бесконечности. Тогда гистограмма приближается к плавной кривой

Эта функция называется функцией плотности распределения вероятностей или законом распределения. Она определяет вероятность получения из генеральной совокупности различных значений непрерывной случайной величины.

В том случае, если функция плотности распределения f случайной величины Х известна, то вероятность P ее наблюдения в конечном интервале [x₁, x₂]:

. (1)

Отметим следующее очевидное свойство функции f

. (2)

Интеграл (2) выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина будет иметь значение, принадлежащее интервалу [‑, +] (т.е. вообще примет какое-либо значение). Очевидно, такое событие достоверно, поэтому его вероятность и равна единице.

5. Равномерное распределение

Т ипы распределений, изучаемых в теории погрешностей, весьма разнообразны. В качестве примера рассмотрим равномерный закон распределения, сравнительно часто встречающийся в практике измерений. Равномерное распределение имеют погрешность при отсчетах показаний аналоговых приборов, от округления при расчетах, погрешность квантования в цифровых приборах.

Распределение вероятностей является равномерным, если на интервале [, ], которому принадлежат все возможные значения случайной величины (рис. 5), плотность вероятности постоянна. Аналитически закон равномерного распределения может быть представлен в следующем виде:

. (4)

Вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина попадет в заданный интервал [x₁, x₂], лежащий внутри [, ], согласно (1) и (4) находится из выражения

,

т.е. пропорциональна длине этого интервала.

Введем обозначение . Тогда

. (5)

Интервал 2 можно рассматривать как доверительный интервал при заданной доверительной вероятности P.

Выражение (5) решает поставленную задачу установления функциональной связи между величиной погрешности и вероятностью того, что истинное значение величины не выйдет за пределы . В следующем параграфе такая связь будет установлена и детально рассмотрена для наиболее важного из распределений, а именно - нормального распределения Гаусса.

Пример. Погрешность от округления отсчета. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Погрешность при округлении отсчета является случайной величиной с равномерным распределением. Это означает, что равновероятны все значения погрешности в пределах , где - граница погрешности отсчета, равная половине цены деления либо его доле.

Задача. Пусть при измерении тока амперметром с ценой деления 0.005 А и пределом измерения 0.3 А стрелка установилась между 45 и 46 отметками, которым соответствуют значения 0.225 А и 0.230 А. За результат отсчета принимаем среднее арифметическое между этими отметками, т.е. 0.2275 А. Граница погрешности отсчета равна половине цены деления =0.005/2=0.0025 А. Если результат требуется вычислить с доверительной вероятностью P=0.8, то доверительная погрешность =0.00250.8=0.002 А. Результат можно записать в следующем виде:

I=(0,2280,002) А, =0.8 .