3. Доверительный интервал

Пусть в результате измерения состоящего из n отсчетов, найдена оценка неизвестного истинного значения физической величины - выборочное среднее .

За абсолютную погрешность этой оценки можно принять разность

(7)

Ясно, что чем меньше абсолютная величина разности, тем более точной оценкой истинного значения является выборочное среднее . Поскольку значение неизвестно, точно определить  невозможно.

Поэтому задача нахождения погрешности  заключается в том, чтобы по результатам одной выборки не определить, а оценить эту погрешность.

Выборочное среднее является результатом ограниченной серии отсчетов. В другом измерении мы получим какое-то другое значение , т.е. выборочное среднее является случайной величиной. Разброс выборочных средних приводит к тому, что равенство (7), верное для одной выборки со средним, может оказаться несправедливым для другой выборки. Поэтому, первое что мы сделаем это введем вместо величину  такую что для целого ряда выборочных средних выполняется неравенство

(7)

или, в другом виде

(7')

Проверим выполнение этого неравенства в мысленном опыте. Из пружинного пистолета выстреливаем металлическим шариком 10 раз делая каждый раз отсчет расстояния x на которое это шарик улетит. Усреднив значения отсчетов найдем выборочное среднее . Расстояние , найденное расчетом по формуле примем за истинное значение. Повторим этот опыт 100 раз, т.е. проведем 100 измерений (каждое измерение состояло из 10 отсчетов). Назначим =1 см и подсчитаем, в каком количестве измерений N₁ это неравенство выполнилось. Пусть мы обнаружили, что это неравенство выполняется в 10 измерениях. Далее, назначим =2 см и опять подсчитаем, в каком количестве измерений N₂ выполнилось это неравенство. Результаты подсчета занесем в таблицу

 Ni i 1 10 0,1=10% 2 20 0,2=20% 3 30 0,3=30% 4 40 0,4=40% 5 50 0,5=50% 6 60 0,6=60% 7 70 0,7=70% 8 80 0,8=80% 9 90 0,9=90% 10 100 1=100%

Здесь N_i - количество , удовлетворяющих условию ,

Как видно из таблицы  может быть столь мала, что интервал    лишь в незначительном количестве измерений, как говорят, покроет истинное значение величины. Т.е. мы видим, что высокую точность ( мало) имеет лишь небольшое количество измерений. Можно сказать, что точность в 1 см обеспечивается для любого из этих 100 измерений с вероятностью 10 %. Очевидно, в реальных условиях подобная вероятность нас вряд ли будет устраивать, поскольку доверять отдельному измерению можно лишь на 10 %. Сам результат измерения следует записать в виде

=1 см/50 см100=2%, =10%

С другой стороны, можно выбрать  настолько большим, что истинное значение заведомо т.е. с вероятностью 100% попадет в интервал от    в любом измерении. Точность такого измерения

=10 см/50см100=20% очевидно, будет невелика, но осуществляться она будет всегда, т.е с вероятностью, 100%.Например, мы можем записать результат

=50+9, =18%, c вероятностью 90%

Таким образом, вывод из этого мысленного опыта следующий: мы не можем категорически утверждать, что для произвольной выборки оценка удовлетворяет неравенству, но мы можем говорить о вероятности P с которой это неравенство осуществляется.

Поэтому, задача оценки  сводится к тому, чтобы по результатам одной выборки указать такое значение погрешности , при котором неравенство (7) выполняется c приемлемой для нас вероятностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью (или надежностью). Для краткости доверительную вероятность обозначают через , т.е.

или (8)

Выражение (8) надо понимать следующим образом: вероятность того, что интервал будет заключать истинное значение измеряемой величины, равна заранее заданному числу . Интервал , который накрывает с заданной надежностью , называют доверительным интервал. Соответственно погрешность , определяющая границы доверительного интервала (доверительные границы) и, называется доверительной погрешностью.

Доверительную погрешность  принято измерять в единицах СКО  = t. Множитель t называют коэффициентом доверия.

Доверительный интервал является одной из основных форм выражения погрешности измерений. Результат измерения должен быть представлен указанием границ доверительного интервала с обязательным указанием заданной доверительной вероятности

X=  ; ; . (9)

В некоторых случаях удобно обозначение доверительной погрешности снабжать индексом, численно равным значению доверительной вероятности, т.е. писать так - _0,9 при =0.9.

В рассмотренном примере мы экспериментально (благодаря проведению достаточно большого количества измерений) установили, что отклонение выборочного среднего не более чем на 1 см от истинного значения происходит в 10% измерений. Зададим большую доверительную вероятность, равную, например, 80%, то есть увеличим доверительный интервал настолько, чтобы в 80 выборках из 100 в этом интервале оказалось истинное значение измеряемой величины. Другими словами, увеличим надежность оценки в 80 раз. Как, не проводя заново эксперимент, указать величину доверительного интервала? Если бы, к примеру, мы располагали дополнительной информацией в виде утверждения, что отклонения и их вероятности связаны между собой прямой пропорциональностью, то тогда можно было бы утверждать, что с вероятностью 80% отклонение  не превосходит 18=8 см. Однако, чтобы получить эту информацию, нам понадобилось бы предварительно установить соответствующую функциональную зависимость между доверительной вероятностью и величиной отклонения .

Задача. Пусть в результате одного измерения, состоящего из серии n отсчетов, получено среднее выборочное значение 52,5 см. Пусть известно, что доверительный и доверительная вероятность связаны зависимостью =2,3. Определить доверительную погрешность и доверительный интервал для доверительной вероятности 90% и записать результат измерения.

Решение. Для доверительной вероятности равной 90% доверительная погрешность - =2,30,9=2,07=2,1 см. Результатом измерения является сообщение, что с вероятностью 90 % истинное значение величины находится в пределах от 52,5-2,1 до 52,5+2,1 см, т.е доверительный интервал равен 50,4 см до 54,6 см или X= 52,52,1 см, =4 %, =90 %