Тема 8 статистическая обработка отсчетов

1. Основные математические понятия.

Пусть проводится многократное измерение некоторой физической величины Х, состоящее из серии n независимых повторных отсчетов. Результатом каждого i-го отсчета является значение x_i. Поскольку на результат каждого отсчета влияет множество случайных факторов, то значения x_i в общем случае, очевидно, различны, т.е. результаты отдельных отсчетов являются случайными величинами.

Возможно два случая

Случай 1. Количество отсчетов n бесконечно велико т.е. n=. Тогда говорят что серия отсчетов образует собой генеральную совокупность. В этом случае результатом измерения является так называемое генеральное среднее значение , которое находится как среднее арифметическое всех бесконечного числа отсчетов.

(1)

 Генеральное среднее значение принимается за истинное значение измеряемой величины

Истинное значение есть величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных отсчетов. Количественной мерой, характеризующей степень рассеивания результатов отдельных отсчетов в окрестности генерального среднего, является генеральное среднее квадратическое отклонение (СКО)

; n. (2)

Чем меньше СКО, тем меньше разброс отдельных результатов и, следовательно, тем точнее выполнены отсчеты. Очевидно, что СКО выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина.

Случай 2. Количество отсчетов n конечно. Тогда говорят что серия отсчетов образует собой выборку объема n из генеральной совокупности или просто выборку. Выборка означает, что из бесконечного множества (генеральной совокупности) значений x_i берется наугад n значений. По результатам этих n отсчетов строится среднее арифметическое , которое называется выборочным средним.

. (3)

Очевидно, что является тем пределом, к которому стремится выборочное среднее при неограниченном увеличении количества отсчетов n

Пусть проводится несколько измерений, каждое из которых состоит n отсчетов. В каждом таком измерении мы получим выборку состоящую из набора n значений x_i (i=1, 2, ..., n) со своим выборочным средним . Эти выборочные средние будут отличаться как друг от друга так и от истинного значения . Это означает, что выборочное среднее значение является, также как и результат отдельного отсчета, случайной величиной. Для характеристики степени рассеяния выборочных средних в окрестности истинного значения вводится своя мера - СКО среднего

(4)

Как видно из формулы (3) разброс выборочных средних (т.е. результатов измерений) вокруг истинного значения существенно меньше разброса отдельных отсчетов. Другими словами усредненный результат серии отсчетов меньше отклоняется от истинного значения, чем отдельные отсчеты. На основании этого можно сделать следующий важный вывод выражающий основной смысл усреднения многократных отсчетов - усредненное значение величины имеет большую точность, чем отдельные отсчеты, по которым оно находится.

2. Основная задача многократного измерения. Выборочное среднее и выборочное ско

Практически определить и, следовательно, и невозможно. Даже проведение большого количества отсчетов сопряжено с большими финансовыми и временными затратами.

Поэтому основная задача многократного измерения заключается в следующем: получить выборку состоящую из, как правило, небольшого числа отсчетов n, и по ней сделать оценку генерального среднего и генерального СКО.

В качестве оценки генерального среднего выступает выборочное среднее , оценкой же генерального СКО является выборочное СКО:

. (5)

Для оценки степени рассеяния средних значений т.е. СКО среднего вводится выборочное СКО среднего

. (6)

Хотя все величины , , s, имеют тип среднего квадратического отклонения, в каждом конкретном случае следует четко представлять себе, о какой именно характеристике идет речь и не путать их между собой.