1. Матрицы вращения в пространстве.

М атрица вращения вокруг оси абсцисс на угол φ

М атрица вращения вокруг оси ординат на угол ψ

М атрица вращения вокруг оси аппликат на угол χ

2. Матрица растяжения (сжатия):

Где α>0 – коэффициент растяжения сжатия вдоль оси абсцисс;

β>0 – коэффициент растяжения сжатия вдоль оси ординат;

γ >0 – коэффициент растяжения сжатия вдоль оси аппликат;

3. Матрица отражения.

М атрица отражения относительно плоскости xy

Матрица отражения относительно плоскости yz

М атрица отражения относительно плоскости zx

4. Матрица переноса (здесь (λ,μ,ν) – вектор переноса)

К омпозиция преобразований в трехмерном пространстве.

Композиция – последовательность отдельных видов преобразований. Композиция преобразований представляется произведением матриц. Композиция позволяет применить одно результирующее преобразование вместо нескольких исходных.

Например. Построить матрицу вращения на угол φ вокруг прямой L,проходящей через точку А(a,b,c) им имеющую направляющий вектор (l,m,n). Считается, что направляющий вектор прямой является единичным (l²+m²+n²=1).

В подобного рода примерах в результате матрицы имеют вид:

Р ешение задачи разбиваем на несколько шагов.

1 . Перенос на вектор –А(-a,-b,-c) при помощи матрицы

В результате этого переноса прямая L проходит через начало координат.

2. Совмещение оси аппликат с прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат. Первый поворот – вокруг оси абсцисс на угол ψ (угол надо определить). Чтобы найти угол рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной прямой L на плоскость Х=0.

Н аправляющий вектор прямой L’ равен (0, m, n). Отсюда вытекает, что cosψ=n/d, sinψ=m/d, где . Соответствующая матрица вращения:

Под действием преобразований координаты вектора (ℓ,m,n) изменяется. В результате: (ℓ,m,n,1)[Rx]=( ℓ,0,d,1). Второй поворот – вокруг оси ординат на угол θ.

c osθ=ℓ, sinθ= -d.

3 . Вращение вокруг прямой L на заданный угол φ.

4. Поворот вокруг оси ординат на угол –θ.

5. Поворот вокруг оси абсцисс на угол –ψ.

6. Перенос на вектор А(a,b,c). Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим результирующую матрицу.

В подобного рода примерах в результате матрицы имеют вид:

5.Проекции . Центральное и перспективное проецирование. Основные виды проекций.

Проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью n, в точки систем координат размерностью меньше чем n. Проекции трехмерного объекта, представленного совокупностью точек, стоятся при помощи прямых (проецирующих прямых), которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и пересекая картинную плоскость (плоскость проецирования) образуют проекции. Такой класс проекций называется геометрическими проекциями. В зависимости от соотношения центра проекции и проекционной плоскости рассматривают параллельные и центральные проекции. В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки – центра собственного пучка. При параллельном проецировании – центр (несобственного) пучка считается лежащим в ∞. При параллельной проекции указывается направление проецирования, а при центральной проекции явно заводится центр проекции. В этом случае все прямые исходят из центра собственного пучка.

При центральной проекции возникает эффект перспективного укорачивания – размер проекции объекта изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра проекции до объекта.

Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, при этом фиксируются истинные размеры объекта с точностью до множества. Углы сохраняются на гранях объекта параллельно проекционной плоскости.

Для описания проекций используют матрицы четвертого порядка и однородные координаты.

Параллельное проецирование. Делится на подклассы.

Ортографическая проекция – картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей.

Матрица проецирования вдоль оси Х на плоскость YZ:

Е сли плоскость проецирования параллельна координатной плоскости, то матрицу [Px] необходимо умножить на матрицу сдвига.

Аксонометрическая проекция – проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. В соответствии со взаимным расположением плоскости проектирования и координатных осей три вида проекции:

1.изометрия – все 3 угла между нормалью к картинной плоскости и координатными осями равны.

2.диметрия – 2 угла между нормалью к картинной плоскости и координатными осями равны.

3.триметрия – нормаль к картинной плоскости образует с координатными осями попарно различные углы.

К

cosψ sinφsinψ 0 0

[M ]= 0 cosφ 0 0

sinψ -sinφcosψ 0 0

0 0 0 1

аждый из трех видов проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проецирование. При повороте на угол ψ относительно оси ординат, на угол φ относительно оси абсцисс и проектирования вдоль оси аппликат возникает матрица

При этом единичные вектора координатных осей преобразуются следующим образом.

Координатные вектор оси х: [1 0 0 1] M=[cosψ sinφsinψ 0 1],

оси y: [ 0 1 0 1] M=[0 cosφ 0 1],

оси z: [ 0 0 1 1] M=[sinψ -sinφcosψ 0 1].

Диметрия характеризуется тем, что длины двух проекций совпадают:

cos²ψ +sin²φsin²ψ=cos²φ, следовательно sin²ψ =tan²φ

В случае изометрии cos²ψ +sin²φsin²ψ=cos²φ и sin²ψ +sin²φcos²ψ=cos²φ, следовательно sin²φ=1/3, sin²ψ=1/2

При триметрии длины проекций попарно различны.

Косоугольная проекции – проекции, для получения которых используется пучок прямых, не перпендикулярных плоскости экрана. Применение этой проекции приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта. При этом плоскости с постоянной координатой z=z1 переносятся в направлении х на величину (z1•ℓ•cosα) и в направлении y на величину (z1•ℓ•sinα) и затем проецируется на плоскость z=0.

Имеется 2 вида косоугольных проекций: свободная (угол наклона проектирующих прямых к плоскости экрана равен половине прямого угла), кабинетная (масштаб по третей оси вдвое меньше).

Перспективное (центральное) проецирование.

1. Р ассмотрим ситуацию. Картинная плоскость перпендикулярна оси Z и совпадает с плоскостью Z=d, центр проекции находится в начале координат(х –вправо, y –вверх, т.е. левосторонняя система координат).

x p/d=x/z; yp/d=y/z; xp=xd/z; yp=yd/z, где d-масштабный множитель, z-любой, кроме z=0

2. Плоскость z=0- картинная. Центр проекции располагается в точке z=-d. Аналогичные треугольники, что и в 1 случае.

xp=dx/(z+d)=x/(z/d+1); yp=dy/(z+d)=y/(z/d+1); Исходя из 1 случая, можно получит матрицу для 2 случая.

Линии, которые были параллельны оси Z будут проходить через конечную точку- это точка схода. Точка схода находится на той же оси, что и центр проекции в точке с координатами z=d. При некоторых расположениях объекта линии, параллельные оси y и оси х также будут пересекаться. Точки пересечения будут лежать выше или ниже горизонта – это точки следа. Если имеется несколько точек схода, то перспективный проект называется многоточечным. Было бы ошибочным применять матрицу 2-х и 3-х точечной проекции в случае, если взаимное расположение центра проекции и проекционной плоскости, которая описана в этом разделе. Если перед центральным проецированием выполнить 1 или 2 поворота и перенос объекта, то результирующая матрица, полученная в результате аффинного преобразования и перспективной проекции будет соответствовать матрице 2-х и 3-х точечной проекции. Такая матрица имеет соответственно 2 или 3 ненулевых элемента в 1-х и 3-х строках и последнем столбце.