1.4. Выборка. Вариационный ряд. Основные выборочные характеристики

Множество результатов измерения { x₁, x₂,…, x_n } величины X называется выборкой объема n.

Выборки делятся на два типа: - вероятностные - невероятностные

Если выборка объема n содержит k различных элементов x₁ ,x₂,…,x_n , причем x  встречается m_i раз, то число m_i  называется частотой элемента x_i , а отношение   называется относительной частотой элемента x_i. 

Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы x_i, а вторая - их частоты m_i (относительные частоты  f_i ).

			. . .		, где
			. . .

Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, т.е. сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленную на ее объем:

где n – объем выборки, x_i – результат измерения (испытания) i-ого элемента выборки.

Другой вид выборочного среднего – выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики. Порядковые статистики – это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборки x₁, x₂,…, x_n расположить в порядке неубывания:

x₁≤ x₂≤…≤ x_i ≤…≤ x_n 

Выборочная медиана   - результат наблюдения, занимающий центральное место в вариационном ряду, построенном по выборке с нечетным числом элементов, или полусумма двух результатов наблюдений, занимающих два центральных места в вариационном ряду, построенном по выборке с четным числом элементов. Таким образом, если объем выборки n – нечетное число, n = 2k+1, то медиана   = x(k+1), если же n – четное число, n = 2k, то медиана   = [x(k) + x(k+1)]/2.

В качестве выборочных показателей рассеивания результатов наблюдений чаще всего используют выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочная дисперсия s² – это сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их среднего арифметического, деленная на объем выборки: 

Выборочное среднее квадратическое отклонение s – неотрицательный квадратный корень из дисперсии, т.е. 

В некоторых литературных источниках выборочной дисперсией называют другую величину:

Она отличается от s² постоянным множителем:

Соответственно выборочным средним квадратическим отклонением в этих литературных источниках называют величину   Тогда, очевидно,

Выбор  , а не s², объясняется тем, что

где Х – случайная величина, имеющая такое же распределение, как и результаты наблюдений.

Для известных результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n рассмотрим случайную величину У с распределением вероятностей

и Р(У = х) = 0 для всех прочих х. Это распределение вероятностей называется эмпирическим. Тогда функция распределения У – это эмпирическая функция распределения, построенная по результатам наблюдений x₁, x₂,…, x_n. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины У:

Второе из этих равенств и является основанием для использования s²в качестве выборочного показателя рассеивания.

Отметим, что математические ожидания выборочных средних квадратических отклонений М(s) и М(s₀), вообще говоря, не равняются теоретическому среднему квадратическому отклонению σ.