19.Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл 2-го рода).Вычисление площади фигуры, ограниченной замкнутым контуром.
Пусть
функции P(x, y)
и Q(x, y)
непрерывны в точках дуги АВ гладкой
кривой К,
имеющей уравнение
, 
.
О п р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функций P(x, y) и Q(x, y) по координатам называется сумма вида
,
(131)
где 
- проекции
элементарной дуги на оси Ох
и Оу.
О
п р е д е л е н и е.
Криволинейным интегралом по координатам (или
криволинейным интегралом второго
рода) от
выражения P(x, y)dx + Q(x, y)dy по
направленной дуге АВ называется конечный
предел интегральной суммы (131) при
стремлении 
и 
к
нулю.
Это обозначается так:
.
Физическое
истолкование криволинейного интеграла
2-го рода Криволинейный
интеграл 2-го рода есть работа, совершаемая
переменной силой 
на
криволинейном пути АВ.
Формулы для его вычисления1. Криволинейный интеграл 2-го рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.
.
2. 
.
Остальные свойства криволинейного интеграла 2-го рода аналогичны свойствам 2-4 интеграла 1-го рода.