13.Замена переменных в двойном интеграле.

Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение  представляет собой так называемый якобиан преобразования  , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки   в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле  означает абсолютное значение соответствующего определителя.  Предполагая, что преобразование координат   является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0. .

16.Вычисление площади поверхности.

Пусть поверхность задана параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v), z=z(u,v),  

 (u,v)∈D, или в векторной форме

 (xyz)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.

Тогда площадь поверхности равна

 S=∬D|[r′u(u,v),r′v(u,v)]|dudv.

Пусть поверхность задана явно уравнением z=f(x,y),   (x,y)∈D. Всякую такую поверхность можно задать параметрически (взяв в качестве параметров x,y  ) или в векторной форме уравнением r=r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k. Тогда

 r′x(x,y)=i+f′x(x,y)k, r′y(x,y)=j+f′y(x,y)k,

 [r′x(x,y),r′y(x,y)]=|ijk10f′x(x,y)01f′y(x,y)|=−f′x(x,y)i−f′y(x,y)j+k.

Поэтому |[r′x(x,y),r′y(x,y)]|=1+(f′x(x,y))2+(f′y(x,y))2, и площадь поверхности может быть найдена по формуле

 S=∬D1+(f′x(x,y))2+(f′y(x,y))2dxdy.

17.Физические приложения двойного интеграла.

Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна  . Тогда масса пластинывыражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону  , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью   для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. 

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией  . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Среднее значение функции

Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y)является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μфункции f (x,y) в области R определяется формулой

где   − площадь области интегрирования R. 

18.Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл 1-го рода).

Пусть функция f (x, у) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К, имеющей уравнение    .

Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками A = A₀, A₁, A₂,…, A_n = B; пусть   - длина дуги A_k-1 A_k. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точкуM_k(x_k, y_k) и умножим значение функции f (x_k, y_k) в этой точке на длину   соответствующей дуги.

О п р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функции f (x, у) по длине дуги АВ называется сумма вида

.

О п р е д е л е н и е. Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f (x, у) (или криволинейным интегралом 1-го рода) называется конечный предел интегральной суммы (122) при стремлении   к нулю.

Это обозначатся так:

.

Здесь dS – дифференциал дуги.