28. Игры, стратегии, алгоритмы.
Теория игр – математическая теория принятия решений в конфликтных ситуациях. Экономические соревнования, спортивные соревнования, боевые операции – это примеры конфликтных ситуаций. На олимпиадах чаще всего имеют дело с простыми моделями конфликтных ситуаций: салонные игры, спортивные игры.
Игры можно классифицировать: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.
В игре могут сталкиваться интересы двух соперников (парные игры) или множество соперников (игра n-лиц). Существуют игры с бесконечным количеством участников.
Результат игры (выигрыш или проигрыш) вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно, выразить его числовым значением.
Стратегия – система правил однозначно определяющих выбор поведения игрока в зависимости о ситуации, сложившейся в течении игры.
Игра называется с нулевой суммой если 1 игрок выиграл столько, сколько второй проиграл в той же партии. Каждая стратегия (фиксированная), которую может выбрать игрок, называется чистой стратегией.
ПР: На столе стоят 2 коробки, в одной из которых m монет, а в другой n монет. Саша и Миша играют в такую игру: они ходят по очереди. Причем начинает ходить Саша и за один ход можно сделать только одну из следующих операций: 1) взять из любой коробки 1 монету, 2) взять из каждой коробки по монете, 3) переложить одну монету из одной коробки в другую. Игра заканчивается когда в коробке не останется монет. Выигрывает тот, кто сделает ход последним. Найти все такие m, n, при которых выигрывает Саша при его правильной игре. Каждый игрок знает сколько монет находится в каждой из коробок и какой ход сделал его соперник. ОТВЕТ: m и n должны быть разной четности.
15 вопрос. Ур-ние с параметром: F(x, a)=0.
Реш. ур-ние с пар. –значит для каждого допустимого знач. пар. найти мн-во всех удовлетворяющих ур-нию знач. неизвестного. Алгоритм реш. ур-ния с пар. аналитически:
1. Определяют ограничения, налагаемые на значения x и a; 2. Опред. формальные реш., записываемые без учета ограничений. Если при реш. возник. контрольные знач. пар., то их наносят на числ. ось Oa. Эти знач. разбив. ось на подмножества. На каждом решают заданное уравнение.3. Исключ. значения пар., при кот. формальные решения не удовлетв. полученным огранич.4. На числ. ось Oa добавл. знач. пар., найденные в п.3. Для каждого из промеж. на оси Oa записыв. все получ. реш. в зависимости от знач. пар. a. (при реш. простых ур-ний п.4 можно опустить).5 ответ, т.е. записыв. реш. в зависимости от знач. пар. a.
Алг. реш. ур-ния с пар. графически:1) Находим обл. опр. уравнения 2) Выраж. a как функцию от х.3) В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех знач. х, кот. входят в обл. опр.4) Находим абсциссы точек пересеч. прямой а=с, где с(-;+) с граф. функции а=(х). Для этого достат. реш. ур-ние а=(х) относит. х.5) Записываем ответ.
Нер-во
с пар.: F(x, a)≥(
)G(x,a)
или F(x, a)>(<)G(x,a).
Реш. нер-во с пар. –зн. для каждого допуст. знач. пар. найти мн-во всех удовлетвор. нер-ву знач. неизвестного, т.е. указать, при каких знач. пар. сущ. общее реш. и каково оно.
Алг. реш. нер-ва с пар. аналитически ( аналогичен алгоритму решения уравнений с параметром)
Алг. реш. нер-в с пар. графически:1)Находим обл. опр. 2)Сводим нер-во к ур-нию.3)Выраж. а как функцию от х.4) В сист. коорд. хОа строим граф. функций а = (х) для тех знач. х, кот. входят в обл. опред.5) Находим мн-ва точек, удовлетв. данному нер-ву.6)Исследуем влияние пар. на результат.6)найдём абсциссы точек пересеч. графиков.7)Зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+). 8) Записываем ответ.
14 вопрос
Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное).
Основные методы решения и доказательства неравенств:
Используя определение
Метод интервалов
Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<,≥,≤) к решению уравнения f(x) = 0.
Использование опорных неравенств:
Неравенство
Коши:
Метод мат. индукции
Геометрический метод
Геометрическая интерпретация неравенств позволяет легко и красиво решать как простые, так и сложные задачи.
Векторный метод
Векторы успешно могут быть применены не только в геометрии, но и при решении неравенств.
Пусть
даны два вектора
.
Для скалярного произведения этих
векторов
,
где
Справедлива оценка
причем экстремальные значения скалярного
произведения достигаются в случаях
коллинеарности векторов. Запишем
неравенства (1)
в координатной форме:
для
векторов на плоскости
Для
векторов в пространстве
