11. Многочлены. Делимость многочленов.

Многочленом наз. алгебраическая сумма одночленов. Одночлены, составляющие многочлен, наз. его членами.

Пример: 1+а; 2b+c; -12;

Многочлен, состоящий из двух членов, наз. двучленом, из трех – трехчленом и т.д..

Одночлен есть многочлен, состоящий из одного члена. Одночлены, имеющие одинаковые буквенные множители, наз. подобными. Алгебраическое сложение подобных членов наз. приведением подобных членов.

Пример:

Многочлен, каждый член которого записан в стандартном виде и в котором приведены подобные члены, наз. многочленом стандартного вида. Всякий многочлен может быть записан в таком виде. Для этого следует привести подобные члены и записать каждый член в стандартном виде.

Пример:

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и результаты сложить.

Пример: (4

Если в результате деления многочлена на одночлен получается также многочлен, то говорят, что многочлен делится на одночлен нацело. Однако это не всегда возможно, так, многочлен нацело не делится.

12. Метод мат. Индукции

Метод мат. индукции исп. для док-ва рав-в или нерав-в.

Т. Если предложение Р(n) с натуральной переменной n истинно для числа 1 и из истинности этого предложения для любого фиксированного числа k вытекает его истинности для след. натур. числа k+1, то Р(n) истинно для любого натур. числа n. При использ. метода мат. индукции полезно воспользоваться след. алгоритмом:1) База индукции: док-ся справедливость утвердж. при n=1. 2) Предположение индукции: делается предположение, что утверждение верно при n=k. 3) Док-ся справедливость при n=k+1.

Пример. Док-ть, что  nN (4ⁿ+15n-1) 9. 1. При n=1 4+15-1=18 9, для n=1 утверждение верно. 2. Пусть для n=k (4^k+15k-1) . При n=k+1, (4^k+1+15(k+1)-1=4^k+1+15k+15-1=4 4^k+15k+15-1=4(4^k+15k-1)-45k-18=(4(4^k+15k-1)-9(5k-2)) 9. Первая скобка делится на 9 по предположению, вторая – т.к. один множитель делится на 9, значит, сумма делится на 9. Ч.Т.Д.

18. Задачи на оптимизацию

- Нахождение наибольшего и наименьшего

- Нахождение наилучшего при минимальных затратах

Данные задачи решаются с помощью:

• Производной

• Неравенств

• Нестандартных методов

При решении задач на оптимизацию можно пользоваться следующим алгоритмом:

1. Составление функции, исходя из условия задачи.

2. Установление области определения функции.

3. Нахождение производной функции.

4. Нахождение критических точек.

5. Нахождение значений функции в этих точках.

6. И в зависимости от условия задачи, определение наибольшего или наименьшего значения функции.

Пример. На графике функции найдите точку, расстояние от которой до точки А(-6,0) будет наибольшим.

Решение.

x=2

21. Четырехугольники.

Выпуклый четырехугольник. Площадь , где - диагонали четырехугольника, - угол между диагоналями.

Вписанный 4-ник. Сумма противоположных углов вписанного в ок-ть 4-ка равна : . Если сумма противоположных углов 4-ка равна , то около этого 4-ника можно описать ок-ть.

Описанный 4-ик. Сумма противоположных сторон описанного около ок-ти 4-ника равны: . Если суммы противоположных сторон выпуклого 4-ника равны, то в этот 4-ник можно вписать ок-ть. Площадь 4-ника, описанного около ок-ти, равна произведению радиуса ок-ти и полупериметра 4-ника: .

Параллелограмм. 4-ник явл. парал-мом, если: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; его противолеж. стороны попарно равны; 2 противолеж. стороны равны и параллельны. Св-ва: диагонали пересек. и точкой пересеч. делятся пополам; противолеж. стороны и противолеж. углы равны; сумма внутренних углов, кот. прилегают к одной стороне, равна 180 ; диагонали делят парал-м на 2 равные треугольники. , где a,b – смежные стороны, смежными сторонами, диагонали, угол между диагоналями.

Ромб. Св-ва ромба: диагонали взаимно перпендикулярные и являются биссектрисами углов; в ромб можно вписать ок-ть с центром в точке пересеч. диагоналей и радиусом, равным половине высоте ромба. .

Прямоугольник. Св-ва: Прямоугольник имеет все св-ва парал-ма; в прямоугольнике диагонали равны; около прямоугольника можно описать ок-ть с центром в пункте пересеч. диагоналей и радиусом, равным половине диагонали.

Квадрат. Св-ва: квадрат имеет все св-ва парал-ма; в квадрате диагонали равны и взаимно перпендикулярные; диагонали делят углы квадрата пополам; около квадрата можно описать ок-ть с центром в точке пересеч. диагоналей и радиусом, равным половине диагонали; в квадрат можно вписать ок-ть с центром в точке пересеч. диагоналей и радиусом, равным половине стороны. .

Трапеция. где a,b - основания трапеции, h - высота, q - средняя линия. Равносторонняя трапеция: Квадрат высоты равносторонней трапеции, в которую можно вписать ок-ть, равен произведению оснований трапеции Площадь равносторонней трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярные, равна произведению квадрата ее высоты