20. Треугольник (замечательные точки и линии) Замечательные точки
Центроид(центр масс) — точка пересечения медиан в треугольнике.
Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Также инцентр является центром вписанной в треугольник окружности.
Инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
Инцентр делит бисс-су угла А в отношении
где a,b,c
– стороны тр-ка.
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений.
Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Т-ка пересечения серединных перпендикуляров.
Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Центр окружности девяти точек.
Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха.
Замечательные линии
Высота - перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Медиана - отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса.
Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Прямая Эйлера - прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
26. Логические задачи. Методы решения логических задач (матричный метод, круги Эйлера, принцип Дирихле, инварианты).
Логическое мышление – это, прежде всего, умения рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения. Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.