2. Методика изучения перпендикулярности прямых в пространстве

Перпендик-ть прямых в пространстве в уч. ШЛ. логично вводится в главе «Паралл-ть прямых и плоскостей» в § Угол между прямыми. Автор отмечает, что углом между двумя пересекающимися и скрещивающимися прямыми явл. наим. угол среди 4-х образованных. Угол между прямыми удовлетворяет условию 0˚<α≤90˚. Если прямые образуют 4 равных угла, то угол между этими прямыми равен 90˚. Затем дает определение взаимно перпендик-ых прямых(перпендик-ых).Это определние уч-ся могут сформулировать сами.Опр: Две прямые наз. вз. перпендик-ми(перпендикул-ми), если угол между ними равен 90˚. И далее в учебнике идет: Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишут а b и читают: «Прямая а перпендикулярна прямой b». Важно отметить, что из опр. следует, что перпенд-ые прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися.

2. Методика изучения перпендикулярности прямой и плоскости.

Если 2 прямые перп-ны одной пл-ти,то они паралл-ны.

Признак:

Если прямая перп-на 2-ум пересекающимся прямым, лежащим в пл-ти, то она перп-на этой пл-ти.

Подвести к формулировке можно, задав вопросы уч-кам о способах задания пл-ти (если анализировать df и вспомнить, чем отлич-ся признак, то достаточно вспомнить задание пл-ти с помощью 2-х перес-ся прямых).

С помощью стереометр-ого ящика подвести к необходимости рассм-ния 2-х случаев: прямая проходит через точку пересечения прямых лежащих в пл-ти и не проходит (проводим прямую через точку пересечения, тогда ).

Д-во признака явл. одним из наиболее сложных, поэтому:

1. Иметь каркасную модель

2. Подготовить таблицу

3. Компьютерная анимация с последующим показом готового рисунка на доске или таблице.

Дополнительные построения должен подсказать учитель. Последующий поиск док-ва по след.схеме:

1)OL–медиана треуг-каABL, , если тр-кABL–равнобедр,т.е.AL=BL – ?

2) – ?

PL-общая, AP=B, сл-но (по 3-м сторонам)

AQ=BQ,сл-но (по 2-м катетам).

Док-во запис-ся в обратном порядке и может быть предложен след.план:

1. AP=BP, AQ=BQ

2. (по 3-м сторонам),

3. (по 2-м сторонам и углу), AL=BL

4. –равнобедр.,т.к.AL=LB,LO-медиана,сл-но LO-высота, .

Для док-ва многих утв-ний в данной теме исп-ся теоремы о сущ-нии и ед-ти пл-ти перп-ной данной прямой и обратная ей.

2. Методика изучения перпендикулярности плоскостей.

В процессе введения понятия перпендикулярности плоскостей необходимо использовать наглядность из окружающей обстановки, модели многогранников (куба, прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы).

С учащимися в процессе изучения перпендикулярности плоскостей отрабатываются вопросы:

• Определение перпендикулярных плоскостей (Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰);

• Признак перпендикулярности плоскостей и его доказательство (Если одна из плоскостей проходит ч/з прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны);

• Построение перпендикулярных плоскостей;

• Решение задач с использованием определения и признака перпендикулярности плоскостей.

Вопрос существования перпендикулярных плоскостей может быть решен сразу после их определения. Для этого можно решить задачу: прямая а не перпендикулярна плоскости . Доказать, что существует плоскость, проходящая ч/з прямую а и перпендикулярна плоскости .

Дано:

Доказать: существует :

Доказательство:

1. Выберем произвольную точку

2. Проведем ч/з точку A прямую b, перпендикулярную плоскости

3. Рассмотрим плоскость , заданную пересекающимися прямыми

4. Плоскости имеют общую точку B, значит, пересекаются по прямой m, проходящей ч/з точку B.

5. Докажем, что

Для этого в плоскости ч/з точку B проведем прямую С перпендикулярно прямой m пересечения плоскостей Так как b .

Вопрос о единственности плоскости можно предложить для самостоятельного рассмотрения.

Решение этой задачи после определения перпендикулярных плоскостей позволит отработать его ,так как доказательство сводится к определению и будет хорошей подготовкой к доказательству признака перпендикулярности двух плоскостей.