2. Уточняем корень уравнения методом Ньютона:

Выберем в качестве начального приближения середину отрезка , т.е. ,

1. По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

вычисления по методу Ньютона следует продолжить;

2. По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

вычисления по методу Ньютона следует продолжить;

3. По рекуррентной формуле метода Ньютона вычислим:

вычисления по методу Ньютона можно закончить.

3. Уточняем корень уравнения методом простой итерации:

Преобразуем заданное уравнение применительно к методу простой итерации:

1. 

2. 

3. 

Проанализируем, как ведут себя функции на отрезке [-4;-3]. Построим таблицу:

Таблица 4.2

Анализ итерирующих функций на отрезке [-4;-3]

-4	#ЧИСЛО!	2,156277	2,181818
-3,9	#ЧИСЛО!	2,102354	1,914545
-3,8	#ЧИСЛО!	2,048947	1,658182
-3,7	#ЧИСЛО!	1,996085	1,412727
-3,6	#ЧИСЛО!	1,943801	1,178182
-3,5	#ЧИСЛО!	1,892128	0,954545
-3,4	#ЧИСЛО!	1,841106	0,741818
-3,3	#ЧИСЛО!	1,790776	0,54
-3,2	#ЧИСЛО!	1,741185	0,349091
-3,1	#ЧИСЛО!	1,692386	0,169091
-3	#ЧИСЛО!	1,644437	0

Из таблицы видно, что принцип сжатых отображений выполняется только в случае с функцией , поэтому в качестве итерирующей функции выбираем :

И концы отрезка, на котором выполняется принцип, соответственно равны a=-3,5; b=-3.

Таким образом будем уточнять корень на отрезке [-3,5;-3] с помощью следующего рекуррентного уравнения:

Выберем в качестве начального приближения

Сведем расчеты в таблицу:

Таблица 4.3

Уточнение корня алгебраического уравнения методом простой итерации

№
1	-3,5	-2,91818	-3,2
2	-2,91818	-3,14008	1,220432
3	-3,14008	-3,1289	-0,06149
4	-3,1289	-3,13147	0,014139

На 4 шаге выполняется условие выхода из итерационного процесса . Отсюда следует, что корень уравнения найденный по методу простой итерации с точностью равен .

4. Решим нелинейное алгебраическое уравнение в системе matlab:

В начале отделим корни нелинейного алгебраического уравнения. Пусть нелинейное алгебраическое уравнение имеет вид:

В MATLAB рекомендуется строить график функции f(x) для приближенного определения корней и интервалов, в пределах которых они находятся. Создается m-файл для исследуемой функции:

%Функция, корни которой ищутся

function f=funl(x)

f=x.^3+4.5*x.^2+5.5*x+3.8

Далее в командном окне набирается последовательность команд:

>> x=-4:0.1:-3;

>> plot(x,funl(x));grid on;

В результате выполнения этого набора команд появляется график исследуемой функции (рис. 4.1).

Из графика видно, что перемена знака функции f(x) происходит на отрезке [-3,2;-3,1].

Рис. 4.1

Одним из возможных путей приближенного нахождения корня является построение графика функции с небольшим значением шага h-шага изменения аргумента x по оси абсцисс.

>> x=-3.2:0.01:-3.1;>> plot(x,funl(x));grid on;

Рис. 4.2

Из графика функции (рис. 4.2) видно, что приближенное значение корня х=-3,13, f(x)=0,006753.

Для решения систем нелинейных уравнений следует также использовать функцию solve из пакета Symbolic Math Toolbox. Эта функция способна выдавать результат в символьной форме, а если такого нет, то она позволяет получить решение в численном виде. Для нелинейного алгебраического уравнения решение с помощью функции solve получается следующим образом:

>> solve(‘x^3+4.5*x^2+5.5*x+3.8’)

ans =

-3.1310040723554095651029682716458

0.68449796382229521744851586417708+0.86320954178574020206722021715475*i

-0.68449796382229521744851586417708-0.86320954178574020206722021715475*i

Таблица 4.4

Сравнительный анализ полученных результатов

Метод деления отрезка пополам	Метод Ньютона	Метод простой итерации	Графически (в системе MATLAB)	С помощью функции solve (в системе MATLAB)
-3,1328125	-3,13101294	-3,13147	-3,13	-3.131004072