4. Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

4.1 Краткие теоретические сведения

Алгебраическое уравнение - ной степени задается в следующем виде:

Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений состоит из двух этапов:

• этап отделения корней

• этап уточнения корней

Не существует универсального метода, позволяющего отделить все корни нелинейного алгебраического уравнения. В качестве возможных способов отделения корней могут быть предложены следующие способы.

• Графический способ;

• Табличный способ;

• Способ нахождения верхних и нижних границ положительных и отрицательных корней.

Метод деления отрезка пополам

После отделения корней можно уточнить его одним из методов последовательных приближений. Одним из таких методов является метод деления отрезка пополам. Этот метод является наиболее простым надежным методом уточнения корня на отрезке в том случае, когда функция из уравнения является непрерывной функцией и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. .

Метод Ньютона

Метод Ньютона применяется к решению уравнения, когда функция является непрерывно дифференцируемой функцией. Также вначале отделим корень уравнения на отрезке .

Общая формула метода Ньютона может быть записана с помощью рекуррентного соотношения:

,

где и

Метод простой итерации

Метод простой итерации применяется к решению уравнения с выделенным значением неизвестного в правой части и состоит в построении последовательности , начиная с некоторого начального значения по правилу

Если непрерывная функция, а - сходящаяся последовательность, то значение является корнем уравнения.

4.2 Расчетная часть

Дано: ; ;

Для индивидуального задания отделить корни и решить нелинейное алгебраическое уравнение численными методами с заданной точностью .

Решение:

Для отделения действительного корня воспользуемся табличным способом:

Таблица 4.1

Отделение корней

х	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3
f(x)	-601,2	-410,2	-264,2	-157,2	-83,2	-36,2	-10,2	0,8

Из этой таблицы мы видим, что перемена знака у функции происходит при -4<x<-3.

1. Уточняем корень уравнения методом деления отрезка пополам:

1. Находим . Вычисляем значения функции в точке:

-3,2<0

Отсюда следует, что корень находится на отрезке .

Длина этого отрезка процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

2. Находим . Вычисляем значения функции в точке:

-0,87188<0

Отсюда следует, что корень находится на отрезке .

Длина этого отрезка процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

3. Находим . Вычисляем значения функции в точке:

0,040234>0

Отсюда следует, что корень находится на отрезке .

Длина этого отрезка процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

4. Находим . Вычисляем значения функции в точке:

<0

Отсюда следует, что корень находится на отрезке .

Длина этого отрезка процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

5. Находим . Вычисляем значения функции в точке:

<0

Отсюда следует, что корень находится на отрезке .

Длина этого отрезка процесс по методу деления отрезка пополам следует продолжить.

6. Находим . Вычисляем значения функции в точке:

<0

Отсюда следует, что корень находится на отрезке .

Длина этого отрезка процесс по методу деления отрезка пополам следует закончить.

Середина отрезка дает корень с заданной степенью точности .

_{х = -3,1328125}