3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.1 Краткие теоретические сведения

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы :

• точные методы;

• методы последовательных приближений.

С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. К точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений относятся такие методы как метод обратной матрицы, метод Крамера (определителей), метод Гаусса и др.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений.

3.2 Расчетная часть

Дано:

1) Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса;

2) Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана- Гаусса в системе MATLAВ.

Решение:

1) В начале исследуем заданную систему на совместность. Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы коэффициентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB:

>> A=[5 4 3 2;4 3 2 5;3 2 5 4;2 5 4 3];rank(A)

ans =

4

>> A1=[5 4 3 2 13;4 3 2 5 11;3 2 5 4 10;2 5 4 3 12];rank(A1)

ans =

4

Получили, что ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

Проведем преобразования по прямому ходу метода Гаусса:

На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса.

Из последнего уравнения системы определяем: ; из предпоследнего уравнения находим: ; из второго уравнения: ; из первого уравнения: .

2) >> A=[5 4 3 2;4 3 2 5;3 2 5 4;2 5 4 3];B=[13;11;10;12];

>> AB=[A B]

AB =

5 4 3 2 13

4 3 2 5 11

3 2 5 4 10

2 5 4 3 12

>> rref(AB)

ans =

1.0000 0 0 0 1.0714

0 1.0000 0 0 1.3214

0 0 1.0000 0 0.5714

0 0 0 1.0000 0.3214

Таблица 3.1

Сравнение полученных результатов, найденных разными способами

	Решение системы методом Гаусса	Решение системы методом Жордана - Гаусса в системе MATLAB
	1.0714	1.0714
	1.3214	1.3214
	0.5714	0.5714
	0.3214	0.3214