5. Вычисление обратной матрицы в системе matlab

>> A=[2 6 5;3 1 4;4 2 3];inv(A)

ans =

-0.1190 -0.1905 0.4524

0.1667 -0.3333 0.1667 ;

0.0476 0.4762 -0.3810

2. Расчет установившихся режимов электрических систем

2.1 Краткие теоретические сведения

Схема замещения электрической сети как связный граф

Для упрощения анализа электрических систем используется подход, суть которого заключается в аналитическом представлении конфигурации схемы замещения электрической сети с помощью процедур алгебры матриц и элементов теории графов.

Основной постулат заключается в следующем: схема замещения электрической сети может рассматриваться как граф. Схема замещения электрической сети обычно является связным, ориентированным графом.

Первая и вторая матрицы инциденций

При расчете установившихся режимов электрические схемы наиболее удобно представлять в виде матриц инциденций.

Первая матрица инциденций , называется также матрицей соединений, обозначается . Показывает взаимосвязь между узлами и ветвями исходного графа.

Вторая матрица инциденций называется также матрицей контуров и обозначается . Она связывает ветви и независимые контуры соответствующего графа схемы замещения.

Матричная форма записи уравнений состояния электрической сети

Уравнение по первому закону Кирхгофа

.

Уравнение по второму закону Кирхгофа

Если ЭДС в ветвях отсутствует , то закон Ома принимает вид

2.2 Расчетная часть Задача №1

Рис. 2.1

Дано: A; A; A;

Для схемы, представленной на рис.2.1 найти токи в ветвях разомкнутой электрической сети, используя матричную форму записи 1-го закона Кирхгофа.

Решение:

1. Обобщенное уравнение состояния: MI=J;

Матрица токов нагрузки:

;

Матрица задающих токов принимает вид:

;

Матрица задающих токов равна матрице токов нагрузок, взятой с противоположным знаком. Выберем в качестве балансирующего узла узел. Обозначим через первую матрицу инциденций без балансирующего узла.

;

Из обобщенного уравнения состояния ;

2. Вычислим обратную матрицу для матрицы М классическим методом:

Определитель матрицы

, заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

;

Разделим все элементы матрицы на определитель . В результате получим обратную матрицу:

;

Токи в ветвях:

I =

;

3. Вычислим обратную матрицу для матрицы М в системе MATLAB:

>> M=[-1 1 1;0 -1 0;0 0 -1];inv(M)

ans =

-1 -1 -1

0 -1 0

0 0 -1

>> J=-[20+32i;5+6i;18+6i]

J =

-20.0000 -32.0000i

-5.0000 - 6.0000i

-18.0000 - 6.0000i

>> I=inv(M)*J

I =

43.0000 +44.0000i

5.0000 + 6.0000i

18.0000 + 6.0000i

Задача №2

Рис. 2.2

Дано: 6 кВ; A; A; A; Ом; Ом; Ом; Ом; сеть трехфазная;

Для схемы представленной на рис.2.2 определить токи в ветвях схемы, напряжения в узлах.

Решение:

Составим первую и вторую матрицы инциденций ( ) для нашего графа.

, узел является балансирующим узлом.

Столбцы в этой матрицы можно условно пронумеровать как связи . Связи однозначно определяют направление ветвей в схеме замещения, так например, связь означает что данная ветвь имеет направление из узла в узел .

Первая матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь вид:

.

В нашей схеме замещения всего один независимый контур, в соответствии с этим вторая матрица инциденций примет вид:

.

Столбцы в этой матрице имеет ту же нумерацию, что и в первой матрице инциденций.

Запишем для нашей схемы обобщенное уравнение состояния:

;

Диагональная матрица сопротивлений ветвей:

;

;

;

Последний элемент в вектор- столбце равен , т.к. ЭДС в ветвях отсутствует. Данная система может быть решена относительно искомых токов в ветвях любым методом решения систем линейных алгебраических уравнений (например, методом обратной матрицы или методом Гаусса).

Решим данную систему:

1. методом Гаусса:

А;

; А;

; А;

; А;

2) методом обратной матрицы:

А ;

;

Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

;

Разделим все элементы матрицы на detА=11 . В результате получаем обратную матрицу:

;

;

3) методом Крамера в системе MATLAB:

>> A=[1 -1 0 0;-1 0 0 -1;0 0 -1 1;-2 -4 3 2];inv(A)

ans =

0.3636 -0.4545 -0.2727 -0.0909

-0.6364 -0.4545 -0.2727 -0.0909

-0.3636 -0.5455 -0.7273 0.0909

-0.3636 -0.5455 0.2727 0.0909

>> F=[-70;-100;-40;0]

F =

-70

-100

-40

0

>> I=inv(A)*F

I =

30.9091

100.9091

109.0909

69.0909

Таблица 2.1

Сравнение полученных результатов, найденных разными способами

	Метод Гаусса	Метод обратной матрицы	Метод Крамера(в сиcтеме MATLAB)
	30,9091	30,9091	30,9091
	100,9091	100,9091	100,9091
	109,0909	109,0909	109,0909
	69,0909	69,0909	69,0909

Найденные токи принимают значения: ;

По закону Ома определим падение напряжения на ветвях схемы:

;

Используя уравнение , получаем:

* ;

Перемножая матрицы в матричном уравнении, получаем уравнения с неизвестными, т.е. данная система переопределена. В нашем случае можно выбросить любое уравнение переопределенной системы и решить ее также каким-либо методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

Из 2 и 3 уравнения соответственно напряжения , подставляя в 1 уравнение , находим что таким образом, напряжение в узлах:

Нахождение напряжений на ветвях схемы с помощью системы MATLAB:

I =

30.9091

100.9091

109.0909

69.0909

>> Z=[2;4;3;2];Z=diag(Z)

Z =

2 0 0 0

0 4 0 0

0 0 3 0

0 0 0 2

>> U=Z*I

U =

61.8182

403.6364

327.2727

138.1818