1.4 Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу Е, называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица А^-1 и для нее справедливо

А*А^-1 =Е.

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы А, для которой

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу А^T, транспонированную к матрице А.

2. Заменяют каждый элемент матрицы А^Т определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус - в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы А.

Решение задач линейной алгебры в системе matlab

При создании матриц в системе MATLAB символы пробел и запятая используются для отделения элементов внутри строки в матрице, символ точка с запятой отделяет строки в матрице.

При создании матриц необходимо следить за равенством длин строк, ее образующих.

В MATLAB операция транспонирования матрицы выполняется с помощью либо оператора «.'», либо функции transpose()

Элементарными матричными преобразованиями являются:

• перестановка местами двух строк матрицы,

• умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное от нуля,

• прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

Система MATLAB позволяет выполнять поэлементное умножение матриц.

При выполнении поэлементного умножения размерности матриц должны быть одинаковыми.

При поэлементном умножении матриц умножаются значения соответствующих элементов этих матриц и записываются в результирующую матрицу.

Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в MATLAB имеются следующие функции:

det(X) — возвращает определитель квадратной матрицы X. Если X содержит только целые элементы, то результат — тоже целое число. Использование условия det(X)=0 как теста на вырожденность матрицы действительно только для матрицы малого порядка с целыми элементами.

2. Расчет установившихся режимов электрических систем Краткие теоретические сведения

2.1 Схема замещения электрической сети как связный граф

Схемы замещения современных сложных электрических систем содержат сотни и более узлов и ветвей. Для упрощения анализа электрических систем используется подход, суть которого заключается в аналитическом представлении конфигурации схемы замещения электрической сети с помощью процедур алгебры матриц и элементов теории графов.

Схемой замещения электрической цепи называется графическое изображение электрической цепи, показывающее последовательность соединения ее участков и отображающее свойства рассматриваемой электрической цепи.

Ветвью называется участок электрической цепи, в которой в любой момент времени ток имеет одно и то же значение.

Узлом называется место соединения двух или большего числа ветвей. Одна из ветвей, соединяющихся в узле, может быть источником тока.

Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий но нескольким ветвям. Если схема электрической цепи не содержит контуров, то она называется разомкнутой.