5. Уравнение бернулли

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли (1), с начальным условием (2).

План решения.

1. Преобразуем уравнение (1) к виду и делаем замену , откуда . Тогда уравнение приводится к линейному . (3)

2. Решаем линейное уравнение (3) и делаем замену .

3. Используя начальное условие (2), находим решение поставленной задачи Коши.

Замечание. При решении уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде y=u(x)v(x) или методом вариации произвольных постоянных.

6. Уравнение в полных дифференциалах

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.     (1)

План решения.

1. Если в некоторой области D M(x,y) и N(x,y) имеют непрерывные частные производные и выполнено условие , то M(x,y)dx+N(x,y)dy – дифференциал некоторой функции U(x,y). Тогда уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде dU(x,y)=0 (2), где U(x,y) – непрерывная дважды дифференцируемая функция.

Из (2) следует, что интегральные кривые определяются уравнением U(x,y)=C при всех возможных значениях C.

Для отыскания U(x,y) заметим, что (3)

2. Интегрируя первое равенство в (3) по x, получим , где – неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя U по y, имеем .

4. Находим и затем U(x,y).

Дифф. Уравнения высших порядков

7. Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения .

План решения.

1. Полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка .

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где – произвольная постоянная.

3. Т.к. , имеем .

Последовательно интегрируя k раз, получим ответ , где – произвольные постоянные.

8. Уравнение вида

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями .

План решения.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной x, полагаем , где p(y) – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем: . Получили уравнение первого порядка относительно p(y): .

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим p=f(y,C), где C – произвольная постоянная.

3. Используя начальные условия, находим .

4. Подставляя , получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные в области, где , получаем и, интегрируя, находим . Проверяем, не является ли решение особым решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

5. Используем начальные условия для нахождения второй постоянной и получаем решение задачи Коши.

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , где – многочлен степени n, – многочлен степени m; p, q, a, b – действительные числа.

План решения.

Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру: (1), где , , …, – фундаментальная система решений, – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение (2) и ищем его решение в виде , где k – неизвестное число.

Подставляя ,  и в уравнение (2) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение . (3)

2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (2) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это ,  и общее решение имеет вид ;

б) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это , и общее решение имеет вид ;

в) если и комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это ,  и общее решение имеет вид .

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид (4), то можно применить метод подбора частных решений.

Если не является корнем характеристического уравнения (3), то , где и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

Если есть корень характеристического уравнения (3) кратности S, то , где и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

4. Находим неопределенные коэффициенты, подставив в исходное уравнение. Записываем ответ в виде (1).

Замечание. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.