Содержание

Из раздела РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ в каждой из перечисленных задач выбираете номер, соответствующий Вашему номеру в журнале. Решение только с помощью информационных технологий соответствует оценке «удовлетворительно». 2

Контрольная работа № 3 (Дифференциальные уравнения) 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 3

1. УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 3

2. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3

3. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ 3

4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 4

5. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 5

6. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 6

ДИФФ. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 7

7. УРАВНЕНИЯ ВИДА 7

8. УРАВНЕНИЕ ВИДА 7

9. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 9

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 19

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 19

3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ 20

Из раздела РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ в каждой из перечисленных задач выбираете номер, соответствующий Вашему номеру в журнале. Решение только с помощью информационных технологий соответствует оценке «удовлетворительно».

Контрольная работа № 3 (Дифференциальные уравнения)

Контрольная работа состоит семи заданий:

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Задача 4. Найти решение задачи Коши

Задача 6. Найти решение задачи Коши.

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Уравнение с разделяющимися переменными

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида . (1)

План решения.

1. В области, где и разделяем переменные, т.е. представляем уравнение (1) в виде .

2. Интегрируем обе части уравнения и преобразуем решение к виду .

2. Однородные уравнения

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида (1), где и – однородные функции одинакового порядка, т.е. и .

План решения.

1. Преобразуем уравнение (1) к виду (1а)

2. Делаем замену , откуда и . Тогда уравнение (1а) приводится к виду , т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Разделяем переменные в области, где : .

4. Интегрируем получившееся уравнение с разделенными переменными и делаем обратную замену .

Замечание. Если u=u₀ – корень уравнения , то решением уравнения (1) будет также y=u₀x.

3. Уравнения, приводящиеся к однородным

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида (1)

План решения.

Если , то уравнение (1) есть, очевидно, однородное. Пусть и (или одно из них) отличны от нуля.

1. Делаем замену переменных , (2), тогда .

2. Подставляя в уравнение (1) выражения x, y, и , будем иметь

(3)

3. Подберем h и k так, чтобы выполнялись равенства:

(4)

т.е. определим h и k как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным: .

Решив это уравнение и перейдя снова к x и y по формулам (2), получим решение уравнения (1).

Замечание 1. Система (4) не имеет решения, если , т.е. . Но в этом случае , т.е.  и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду (5)

Тогда подстановкой (6) уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными: .

Замечание 2. Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения , где f – произвольная непрерывная функция.

4. Линейные уравнения первого порядка

Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

(1), с начальным условием (2)

План решения.

Способ 1.

1. Ищем решение уравнения (1) в виде (3), где u и v – неизвестные функции x.

2. Уравнение (1) принимает вид (4)

3. Преобразуем уравнение (4) к виду (5) и полагаем . Это не сужает множество решений y, т.к. уравнение (5) содержит две неизвестные функции.

4. Решаем уравнение с разделяющимися переменными . Найдя v(x), подставляем его в уравнение (5) и находим u(x).

5. Записываем общее решение уравнения (1) в виде .

6. Используя начальные условия (2), получаем решение поставленной задачи Коши.

Способ 2.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

(6)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (6)

(7)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной.

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (7), считая C неизвестной функцией от x, т.е. полагая C=C(x);

б) подставляем в уравнение (1) y и , определяемые из соотношения (7), где C=C(x). Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию C(x).

4. Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде (7а)

Здесь C(x) содержит произвольную постоянную C₀.

5. Использую начальные условия (2), находим значение и получаем решение поставленной задачи Коши.

Замечание. Иногда бывает удобным представить x как функцию от y, т.е. x=x(y).

Задача 4. Найти решение задачи Коши.