Выпуклость. Точки перегиба.
Определение.
Функция
называется выпуклой
вверх (выпуклой вниз)
на интервале
.
Если для любых трех точек
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство:
,
(соответственно
).
Геометрически это
означает, что любая точка отрезка,
соединяющего точки с координатами
и
,
расположена не выше (соответственно не
ниже) точки графика функции
,
соответствующей тому же значению
аргумента.
Теорема (достаточное условие строгой выпуклости).
Пусть функция
дважды дифференцируема на интервале
.
Если
на интервале
,
то функция
строго выпукла вверх на этом интервале.
Если
на интервале
,
то функция
строго выпукла вниз на этом интервале.
Определение.
Точка, отделяющая на графике функции интервал выпуклости вверх от интервала выпуклости вниз (или наоборот), называется точкой перегиба.
Теорема (необходимое условие наличия точки перегиба).
Пусть функция
имеет непрерывную в точке
вторую производную. Тогда, если
- точка перегиба функции
,
то
.
Теорема (достаточное условие наличия точки перегиба).
Если функция , дифференцируемая в точке , дважды дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки, и вторая производная при переходе слева направо через эту точку меняет знак на противоположный, то является точкой перегиба функции .
Асимптоты.
Определение.
Если существуют
такие числа
и
,
что
или
,
то прямая
называется наклонной
асимптотой
графика функции
.
При этом:
(или
)
(или
)
Если
и существует конечное число
,
то
называется горизонтальной
асимптотой.
Определение.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (быть может, односторонней), и выполнено одно из условий:
,
или
,
тогда прямая
называется вертикальной
асимптотой
графика функции
.
Схема исследования функции.
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) область существования функции (область определения и область значений);
2) точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат;
3) интервалы возрастания и убывания;
4) точки экстремума;
5) интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз;
6) точки перегиба;
7) Асимптоты.
Решение типового варианта Практикума.
в содержание в таблицу заданий
Задание 1.
Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой :
.
Решение.
Запишем уравнение нормали: .
,
Подставив найденные значения в уравнение, получим:
в содержание в таблицу заданий
Задание 2.
Найти дифференциал .
Решение.
По определению . Найдем :
Воспользуемся
формулой для косинуса двойного угла:
.
В данном случае
.
Тогда:
Окончательно, при
,
имеем:
в содержание в таблицу заданий
Задание 3.
Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
,
.
Решение.
.
Пусть
,
тогда
.
в содержание в таблицу заданий
Задание 4.
Найти производную.
Решение.
Находим производную
по формуле
.
в содержание в таблицу заданий
Задание 5.
Найти производную.
Решение.
Находим производную
по формуле
.
в содержание в таблицу заданий
Задание 6.
Найти производную.
Решение.
в содержание в таблицу заданий
Задание 7.
Найти производную.
Решение.
Применим формулу
синуса двойного угла
,
получим:
в содержание в таблицу заданий
Задание 8.
Найти производную.
Решение.
Воспользуемся
формулой
,
получим:
в содержание в таблицу заданий
Задание 9.
Найти производную.
Решение.
в содержание в таблицу заданий
Задание 10.
Найти производную.
Решение.
Находим производную
по формуле производной показательно-степенной
функции:
в содержание в таблицу заданий
Задание 11.
Найти производную.
Решение.
в содержание в таблицу заданий
Задание 12.
Найти производную.
Решение.
в содержание в таблицу заданий
Задание 13.
Найти производную
.
Решение.
Для параметрической
функции производная находится по формуле
в содержание в таблицу заданий
Задание 14.
Составить уравнения
касательной и нормали к кривой в точке,
соответствующей значению параметра
.
Решение.
Уравнение
касательной:
,
где
.
Уравнение нормали:
.
Воспользуемся формулой:
-
уравнение касательной,
-
уравнение нормали.
в содержание в таблицу заданий
Задание 15.
Найти производную
-го
порядка.
Решение.
Воспользуемся
формулой
в содержание в таблицу заданий
Задание 16.
Найти производную указанного порядка.
Решение.
в содержание в таблицу заданий
Задание 17.
Найти производную
второго порядка
от функции, заданной параметрически.
Решение.
Воспользуемся формулой:
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ.
Содержание
Производная функции. 3
1. Определение производной функции. 3
2. Односторонние производные функции в точке. 4
3. Основные правила дифференцирования. 4
4. Производные основных элементарных функций. 4
5. Дифференциал функции. 6
6. Свойства дифференциала. 6
7. Производная сложной функции. 7
8. Производная показательно- степенной функции. 7
9. Производная обратной функции. 7
10. Производные и дифференциалы высших порядков. 8
11. Формула Тейлора. 8
12. Формула Маклорена. 9
13. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. 9
14. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. 10
15. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. 10
16. Выпуклость. Точки перегиба. 12
17. Асимптоты. 13
18. Схема исследования функции. 13
Решение типового варианта Практикума. 14
Задание 1. 14
Задание 2. 14
Задание 3. 15
Задание 4. 15
Задание 5. 16
Задание 6. 16
Задание 7. 16
Задание 8. 17
Задание 9. 17
Задание 10. 17
Задание 11. 18
Задание 12. 18
Задание 13. 18
Задание 14. 19
Задание 15. 20
Задание 16. 20
Задание 17. 20
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ. 22
Задание 1. 24
Задание 2. 25
Задание 3. 26
Задание 4. 27
Задание 5. 28
Задание 6. 29
Задание 7. 30
Задание 8. 31
Задание 9. 32
Задание 10. 33
Задание 11. 34
Задание 12. 36
Задание 13. 37
Задание 14. 38
Задание 15. 39
Задание 16. 40
Задание 17. 41
в содержание в решение типового варианта