11. Формула Тейлора.

Теорема.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные до порядка включительно. Тогда при :

Эта формула называется формулой Тейлора порядка с остаточным членом в форме Пеано:

Если функция имеет в окрестности точки производную порядка , то найдется такая точка , лежащая между и , что остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде:

(форма Лагранжа)

12. Формула Маклорена.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

.

Остаточный член в форме Лагранжа записывается следующим образом:

13. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

1) ;

2) ;

3) ;

4)

;

5) ;

14. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Отыскание предела путем формальной подстановки значения точки, к которой стремится аргумент, в формулу, задающую рассматриваемую функцию, во многих случаях приводит к выражениям вида . Они называются неопределенностями, так как по ним нельзя судить, существует или нет указанный предел. В этом случае вычисление предела называется «раскрытием неопределенности».

Теорема (правило Лопиталя для «раскрытия неопределенностей» вида )

Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , существуют пределы и , равные 0 (для неопределенности вида ) или (для неопределенности вида ), и в окрестности точки . Если существует предел , то:

.

Иначе говоря, предел отношения функций в этом случае равен пределу отношения их производных.

15. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.

Теорема.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной, (соответственно, неположительной, ).

Если всюду на производная положительна: (соответственно, отрицательна: ), то функция строго возрастает (строго убывает) на рассматриваемом интервале.

Определение.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой максимума (соответственно точкой минимума), если существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:

,

(соответственно ).

Если (соответственно ), то точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Теорема (необходимые условия экстремума).

Пусть - точка экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки . Тогда либо производная не существует, либо .

Теорема (достаточные условия строгого экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки , в которой она является, однако, непрерывной. Если производная при переходе через точку меняет знак на противоположный, то является точкой строгого экстремума.

Если при переходе через точку слева направо знак производной меняется с «-» на «+», то - точка минимума.

Если при переходе через точку слева направо знак производной меняется с «+» на «-», то - точка максимума.